Hallar la distancia entre dos planos
Piense en una pared. Una pared es una superficie plana. Si la pared se extendiera en todas direcciones hasta el infinito, tendríamos un plano . Una pared suele tener una orientación vertical, pero un plano puede tener cualquier orientación. La distancia entre dos planos es la distancia más corta entre las superficies de los planos.
¡Encontremos esta distancia!
Paso 1: Escribe las ecuaciones para cada plano en el formato estándar.
El formato estándar que usaremos es a x + b y + c z + d = 0. Para dos ecuaciones, tenemos lo siguiente:
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Paso 2: determina si los planos son paralelos.
Si los planos no son paralelos, eventualmente se cruzarán porque cada plano se extiende hasta el infinito en todas las direcciones. Por lo tanto, si los planos no son paralelos, la distancia entre los planos es cero y podemos detener el proceso de búsqueda de distancia. Para averiguar si los planos son paralelos, comprobar las relaciones de un 1 / un 2 , b 1 / b 2 y c 1 / c 2 .
Los planos son paralelos si estas relaciones son iguales.
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Si los planos son paralelos, continuamos con el siguiente paso.
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Paso 3: A partir de una de las ecuaciones planas, identifique los coeficientes a , b , c y d .
Esta parte es muy fácil. Digamos que seleccionamos la ecuación del primer plano. Entonces,
- a es un 1
- b es b 1
- c es c 1
Paso 4: Encuentra un punto ( x 1 , y 1 , z 1 ) en el otro plano.
Cualquier punto servirá. Una buena opción suele ser dejar que cualquiera de las dos coordenadas sea cero y luego resolver la tercera coordenada. Por ejemplo, dejar x = y = 0 significa lo siguiente:
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y resolver para z 1 significa:
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Así,
- x 1 = 0
- y 1 = 0
- z 1 = – d 2 / c 2
Nota: esta parte puede parecer complicada debido a todas las variables de letras. En la práctica, tenemos números y el trabajo parece mucho más sencillo. Mostraremos esto más adelante en la sección de aplicación.
Paso 5: Sustituye en la fórmula de la distancia y simplifica.
Sustituto de un , b , c , d , x 1 , y 1 y z 1 en la fórmula para encontrar la distancia, D, entre dos planos.
El resultado final
Como puede ver ahora, tenemos la fórmula para la distancia:
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En esta fórmula, una , b , c y d son los coeficientes de la ecuación que describe uno de los planos y x 1 , y 1 y z 1 son las coordenadas de un punto en el otro plano.
El formato de la ecuación del plano es a x + b y + c z + d = 0.
Si los planos no son paralelos, la distancia es cero.
Aplicar el resultado
Ejemplo 1: Encuentre la distancia entre los dos planos: 2 x + 4 y + 6 z + 8 = 0 y 4 x + 8 y + 2 z – 16 = 0.
Ambas ecuaciones ya están en el formato estándar. Ahora comprobamos las proporciones de coeficientes:
- Relación de coeficientes x : 2/4 = 1/2
- razón de los coeficientes y : 4/8 = 1/2
- relación de coeficientes z : 6/2 = 3
Las proporciones no son las mismas; los planos no son paralelos y detenemos el proceso de cálculo de distancia.
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Los planos se extienden hasta el infinito en las tres direcciones. En la figura, vemos solo una parte de los dos planos, pero es suficiente para hacernos una idea de cómo se cruzan los planos. Estos planos se cruzan y la distancia entre ellos es cero.
Ejemplo 2: Encuentre la distancia entre los dos planos: 2 x + 4 y + 6 z + 8 = 0 y 4 x + 8 y + 12 z – 16 = 0.
Comprobación de la relación de coeficientes:
- Relación de coeficientes x : 2/4 = 1/2
- razón de los coeficientes y : 4/8 = 1/2
- relación de coeficientes z : 6/12 = 1/2
Todas las proporciones son iguales. Estos planos son paralelos.
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De la primera ecuación, identificamos una , b , c y d :
- a = 2
- b = 4
- c = 6
- d = 8
En la segunda ecuación, encontramos un punto. Dejando x = y = 0, obtenemos
z = 16/12 = 4/3
Por tanto, x 1 = 0, y 1 = 0 y z 1 = 4/3.
Sustituyendo en la ecuación de distancia entre planos:
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Por tanto, la distancia entre estos planos paralelos es aproximadamente 2,14.
Resumen de la lección
¡Revisemos! Un plano es simplemente una superficie que se extiende en todas direcciones hasta el infinito. Una pared suele tener una orientación vertical, pero un plano puede tener cualquier orientación, ya sea horizontal o vertical. La distancia entre dos planos es la distancia más corta entre las superficies de los planos. Si dos planos no son paralelos, la distancia entre ellos es cero porque eventualmente se cruzarán en algún punto a lo largo de sus trayectorias.
El formato estándar que usaremos es:
a x + b y + c z + d = 0
y la fórmula para la distancia es la siguiente:
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En esta fórmula, una , b , c y d son los coeficientes de la ecuación que describe uno de los planos, y x 1 , y 1 y z 1 son las coordenadas de un punto en el otro plano.
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