¿Qué es la regla de la cadena?
La regla de la cadena nos permite diferenciar funciones compuestas. ¿Qué son exactamente las funciones compuestas? ¡Buena pregunta! Una función compuesta es una función cuya variable es otra función. Mira este ejemplo:
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La primera función es una función sencilla. Pero la segunda es una función compuesta. ¿Ves cómo la única variable x de la primera función ha sido reemplazada por x ^ 2 + 1, una función en sí misma, verdad? Una función como esa es difícil de diferenciar por sí sola sin la ayuda de la regla de la cadena. Pero con él, ¡diferenciarse es muy fácil! Vamos a ver.
La formula
Sin más preámbulos, aquí está la fórmula formal para la regla de la cadena. No te asustes. Se vuelve más simple una vez que comienzas a usarlo.
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Puede parecer complicado, pero en realidad no lo es. Todo lo que dice es que, si tiene una función compuesta y necesita tomar la derivada de ella, todo lo que haría es tomar la derivada de la función como un todo, dejando la función más pequeña sola, entonces la multiplicaría por la derivada de la función menor. Bueno. Fue un bocado y, afortunadamente, es mucho más fácil de entender en acción, como verá.
Sin embargo, hay una condición que debe cumplirse antes de poder utilizar la regla de la cadena. Es que ambas funciones deben ser diferenciables en x . Alternativamente, si no puede diferenciar una de las funciones, entonces no puede usar la regla de la cadena. No puede ayudarte en esos casos.
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Cuándo usarlo
Sabrá cuándo puede usarlo con solo mirar una función. Si parece algo que puede diferenciar, pero con la variable reemplazada por algo que parece una función por sí misma, lo más probable es que pueda usar la regla de la cadena.
Vea si puede ver un patrón en estos ejemplos.
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Les he dado cuatro ejemplos de funciones compuestas. El primero y el tercero son ejemplos de funciones fáciles de derivar. El segundo y el cuarto no se pueden derivar tan fácilmente como los otros dos, pero ¿notas lo similares que se ven? Parecen algo que se puede derivar fácilmente, pero tienen funciones más pequeñas en lugar de nuestra variable solitaria habitual.
Cómo usarlo
Ahora, veamos cómo derivar realmente este tipo de funciones. La fórmula nos dice que diferenciamos todo como si fuera una función sencilla que sabemos cómo derivar. Luego lo multiplicaríamos por la derivada de la parte interior o la función más pequeña. Pensando en esto, puedo hacer que mis problemas se vean un poco más limpios haciendo una pequeña sustitución para cambiar la forma en que escribo la función. Puedo etiquetar mi función interior más pequeña con la variable u .
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Una vez hecho esto, mi función parece muy fácil de diferenciar. Definitivamente puedo diferenciar u ^ 8. ¿Qué obtengo cuando obtengo u ^ 8? Obtengo 8 u ^ 7. Ahora, puedo usar la regla de la cadena. La regla de la cadena ahora me dice que derive u . En cuanto a T , veo que puedo deducir fácilmente que también. Esto es lo que obtengo:
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Para mi respuesta, lo he simplificado tanto como puedo. Tomé 12 x ^ 3-4 x y factoricé un 4 x para simplificarlo aún más. Escribí la respuesta con los factores más pequeños al frente. Desde que descubrí que u ^ 8 deriva en 8 u ^ 7, decidí mantener mi función original y escribir la respuesta con eso en su lugar, ya, en lugar de una u .
En la práctica, la regla de la cadena es fácil de usar y hace que su vida de diferenciación sea mucho más fácil. Si bien la fórmula puede parecer intimidante, una vez que comienza a usarla, tiene mucho más sentido.
Resumen
La regla de la cadena está ahí para ayudarlo a derivar ciertas funciones. Algunas funciones son funciones compuestas y requieren la regla de la cadena para diferenciarse. La regla de la cadena te dice que debes seguir adelante y diferenciar la función como si tuviera esas variables solitarias, y luego multiplicarla con la derivada de la variable solitaria. Si bien esto puede parecer mucho, es más fácil en la práctica.
Los resultados del aprendizaje
Cuando haya completado esta lección, debería poder:
- Reconocer cuál es la regla de la cadena en matemáticas
- Identificar la fórmula de la regla de la cadena
- Determinar cuándo y cómo usar la fórmula.
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