Resolver la derivada de ln (sqrt x)

Pasos para resolver

Si queremos encontrar la derivada de ln (√ x ), tendremos que hacer uso de la regla de la cadena para las derivadas. La regla de la cadena para derivadas es una regla que usamos para encontrar la derivada de funciones de la forma f ( g ( x )).

Observa que si dejamos f ( x ) = ln ( x ) y g ( x ) = √ x , entonces f ( g ( x )) = ln (√ x ), lo que nos dice que podemos usar la regla de la cadena para encontrar la derivada de ln (√ x ).

Pensemos en qué más necesitaremos saber para encontrar esta derivada. La regla de la cadena establece que si h ( x ) = f ( g ( x )), entonces h ‘( x ) = f ‘ ( g ( x )) ⋅ g ‘( x )

En nuestro ejemplo, f ( x ) = ln ( x ) y g ( x ) = √ x . Para usar la regla de la cadena, tendremos que encontrar f ‘( g ( x )) y g ‘ ( x ). Ambos derivados son bien conocidos.

• La derivada de ln ( x ) es 1 / x .
• La derivada de √ x es (1/2) x (-1/2) o 1 / (2√ x ).

Estos hechos serán útiles en nuestra búsqueda de la derivada. Dado que la derivada de ln ( x ) es 1 / x , tenemos que f ‘( x ) = 1 / x , entonces f ‘ ( g ( x )) = 1 / (√ x ). Además, sabemos que g ‘( x ) = 1 / (2√ x ). Entonces, todo lo que tenemos que hacer es conectarlos a la fórmula de la regla de la cadena y simplificar para obtener nuestra derivada.

Solicitud

Encontrar la derivada de ln (√ x ) no fue tan difícil. Ahora, consideremos un escenario en el que poder hacerlo podría resultar útil. Supongamos que una niña llamada Mandi ha experimentado un crecimiento acelerado en los últimos años. Podemos modelar su crecimiento durante estos 36 meses usando la función h ( x ) = ln (√ x ) + 1, donde h ( x ) es el número de pulgadas que ha crecido durante este período de crecimiento, yx es el número de meses desde que comenzó el brote de crecimiento.

Mandi se da cuenta de que cuando comenzó su racha de crecimiento, creció muy rápido, pero parece haber disminuido, aunque todavía está creciendo. Podemos ilustrar esta tendencia graficando la función.

Esto hace que Mandi piense en lo rápido que estaba creciendo en diferentes momentos durante los últimos 36 meses. Podemos usar la derivada de ln (√ x ) para responder su pregunta.

Como sabrá, la derivada de una función representa la tasa a la que y está cambiando con respecto a x en cualquier valor dado de x , por lo que solo necesitamos encontrar la derivada de nuestra función h ( x ) = ln (√ x ) +1, y tendremos una fórmula para encontrar la tasa de crecimiento de Mandi en cualquier momento desde el comienzo de su racha.

Para hacer esto, podemos hacer uso del hecho de que la derivada de una suma es la suma de las derivadas, y que la derivada de una constante es 0. Por lo tanto, la derivada de h ( x ) es la suma de la derivada de ln (√ x ) y la derivada de 1. Sabemos que la derivada de ln (√ x ) es 1 / (2 x ). Juntando toda esta información, obtenemos lo siguiente:

h ‘( x ) = 1 / (2 x ) + 0 = 1 / (2 x )

Ahora tenemos una fórmula que nos dará la tasa a la que Mandi estaba creciendo x meses después de que comenzara el crecimiento acelerado.

Por ejemplo, si quiere saber cuál fue su tasa de crecimiento en cuatro meses, simplemente necesita insertar x = 4 en la fórmula derivada.

1 / (2 x ) = 1 / (2⋅4) = 1/8

Cuatro meses después de que comenzara el crecimiento acelerado de Mandi, ella estaba creciendo a un ritmo de 1/8 de pulgada cada mes. De manera similar, si quiere saber cuál fue su tasa de crecimiento en 30 meses, colocaría x = 30 en la fórmula derivada.

1 / (2 x ) = 1 / (2⋅30) = 1/60

Aquí, Mandi estaba creciendo a un ritmo de 1/60 de pulgada por mes a los 30 meses. Así que tenía razón sobre el hecho de que creció más rápidamente al comienzo de su período de crecimiento acelerado.

El crecimiento es un proceso humano ordinario que todos experimentamos y podemos usar la derivada de ln (√ x ) para analizarlo.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador