Cómo aplicar la prueba de relación de convergencia y divergencia

La prueba de la relación

Una prueba muy útil que puede ayudarlo a trabajar con problemas en serie es la prueba de razón . La prueba de razón le ayuda a determinar si una serie en particular converge o diverge. Necesitará conocer esta prueba de proporción, ya que lo más probable es que la vea en las pruebas estandarizadas que tomará a medida que avance en su educación y mientras se prepara para la universidad. Conocer esta prueba de razón te ayudará a responder fácilmente los problemas que te pregunten si cierta serie converge o no. La prueba de proporción es esta:

Como se puede ver, utilizar la prueba para una serie en particular un n , se toma el límite cuando n tiende a infinito del valor absoluto de la expresión creada a partir de la n + 1 término de la serie sobre el n término de la serie. Debido a que está tomando el límite de un valor absoluto, su límite nunca será negativo.

Reglas

Las reglas de convergencia y divergencia para esta prueba de razón son las siguientes:

1. Si L <1, entonces la serie converge y es convergente.

2. Si L > 1, entonces la serie diverge y es divergente.

3. Si L = 1, entonces la serie puede ser divergente o convergente.

Por ejemplo, si después de tomar el límite, obtiene 3 para su respuesta, entonces eso le indica que su serie es divergente porque 3 es mayor que 1. Ahora, si obtiene 10/19 como respuesta, entonces su serie es convergente. .

Echemos un vistazo a un par de ejemplos de esta prueba de razón en acción ahora.

Convergencia

Primero, veamos esta serie.

El problema le pide que determine si la serie es divergente o convergente. Usando la prueba de razón, necesitas escribir el término n + 1 sobre el término n y tomar el límite cuando n se acerca al infinito. El término n es la propia serie. Para encontrar el término n + 1, todo lo que necesita hacer es insertar un n + 1 siempre que vea una n en la propia serie:

Aunque la prueba de razón dice que necesitas colocar el término n + 1 sobre el término n , para que te resulte más fácil, también puedes multiplicar el término n + 1 por 1 sobre el término n . Recuerde que cuando divide 1 por una fracción, la fracción se invierte donde el numerador y el denominador cambian de lugar.

Ahora viene la parte divertida. Ahora necesita evaluar esta expresión y ver qué puede cancelar. Como puede ver, si no tiene cuidado, puede cometer un error que le dará una respuesta incorrecta. Entonces, cuando mire lo que puede cancelar, hágalo con mucho cuidado. Al cancelar los términos, obtienes esto:

Ahora, tomando el límite de esto cuando n se acerca al infinito, obtienes 8/16. No olvide que está tomando el límite de un valor absoluto. Entonces, si obtiene -8/16, el valor absoluto de esto es 8/16. Dado que esto es menos de uno, esta serie converge.

Divergencia

Veamos una serie más.

Determine si esta serie converge o no.

Utiliza la prueba de proporción de nuevo aquí. Desea tomar el límite del término n + 1 sobre el término n . Aquí nuevamente, el término n es la propia serie. El término n + 1 es el término de la serie en el que inserta n + 1 siempre que vea n .

Multiplicando esto con 1 sobre el término n o n sobre 3 elevado a la n- ésima potencia y luego eliminando los términos semejantes, obtienes esto:

Tomando el límite de esto cuando n se acerca al infinito, se obtiene 3. 3 es mayor que 1, por lo que esta serie diverge.

Resumen de la lección

Repasemos lo que ha aprendido. La prueba de razón le ayuda a determinar si una serie en particular converge o diverge. La prueba de proporción es la siguiente.

Las reglas de convergencia y divergencia para esta prueba de razón son las siguientes:

1. Si L <1, entonces la serie converge y es convergente.

2. Si L > 1, entonces la serie diverge y es divergente.

3. Si L = 1, entonces la serie puede ser divergente o convergente.

Para encontrar el término n + 1, todo lo que necesita hacer es insertar n + 1 donde vea n .

Rodrigo Ricardo Editor y fundador