¿Qué es una antiderivada?
Imagina que estás caminando por el bosque y te encuentras con un rastro de animales dejado en el barro. ¿Puedes determinar qué animal creó esa pista? Este proceso de trabajar hacia atrás para descubrir qué creó la huella animal es similar al proceso de trabajar hacia atrás para encontrar la antiderivada de una función.
En cálculo, tienes que encontrar la derivada de muchos tipos diferentes de funciones. La derivada es la tasa de cambio de una función en un punto dado, x . Por ejemplo, la derivada de f (x) = x 2 -4 x 2 sería 2 x -4.
Encontrar la antiderivada implica comenzar con una función y luego encontrar qué otra función habría creado la primera función tomando la derivada. Si la función era f ( x ) = 2 x -4, una primitiva sería F ( x ) = x 2 -4 x 2. La antiderivada y la integral tienen definiciones similares. Una integral definida , que es el área bajo una curva desde el punto a hasta b, es un valor y la antiderivada es una función. La integral indefinida y la antiderivada tienen una definición aún más cercana y, para el propósito de esta lección, se pueden usar como sinónimos. Las derivadas se denotan con f ( x ), mientras que la antiderivada de f (x ) se denota con una letra mayúscula F ( x ).
La antiderivada de una función de poder
Las funciones de potencia tienen la forma de f ( x ) = a x b . Tienen un término en el que tienes una constante (a) multiplicada por una variable x elevada a alguna potencia. Ejemplos de funciones de potencia serían f ( x ) = 3 x 2 y g ( x ) =. 5 x 5 . Para encontrar la antiderivada de una función de potencia, siga estos pasos.
- Observa el exponente y suma uno.
- Divide el término por el exponente más uno.
- El resultado del segundo paso más una constante C será la antiderivada.
La antiderivada tendrá el + C al final. Aprenderá más sobre esto más adelante en la lección. La antiderivada de una función de potencia siempre tendrá un grado , el mayor exponente de la función, que es uno mayor que la función original.
Beth Din: Historia, funciones y estructura
La antiderivada de una función constante
Las funciones constantes son funciones de la forma f ( x ) = C (alguna constante). Los ejemplos serían f ( x ) = 10 y g ( x ) = – 4.56. Aunque las funciones constantes tienen una construcción más simple que las funciones de potencia, se aplican los mismos pasos. Si recuerda, todo lo elevado a la potencia cero será uno. 3 x 0 sería 3 (1) o 3. Puede reescribir funciones constantes como una función de potencia con la potencia de cero y luego seguir los pasos para encontrar la antiderivada de una función de potencia. Una vez más agregando + C al final. Las funciones constantes tienen un grado de cero, pero la antiderivada de una función constante será una función lineal con un grado de uno.
La C
Al encontrar la antiderivada de cualquier función, deberá agregar + C al final de la antiderivada. Cuando tomas la derivada de cualquier función que tenga un término constante, la derivada del término constante será cero. La derivada de f ( x ) = x 2 -4 x 2 es 2 x -4. Sin embargo la derivada de f ( x ) = x 2 -4 x 10 es también 2 x -4. Si tuviera que encontrar la antiderivada de 2 x -4, debe decir f ( x ) = x 2 -4 x + C para dar cuenta de la derivada de un término constante.
Ejemplos
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Resumen de la lección
La derivada es la tasa de cambio de una función en un punto dado, x . Para encontrar la antiderivada de una función constante o de potencia, toma el grado de la variable y agrégale uno. Luego divide el término por este número. Luego agregará un + C para todas las funciones. En el caso de funciones constantes que no parecen tener una variable, suponga que la variable se eleva a la potencia cero y siga los pasos para las funciones de potencia.
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