Área de superficie de un prisma pentagonal
Su amigo Richard necesita ayuda; quiere saber cómo encontrar el área de superficie de un prisma pentagonal. Antes de continuar, repasemos algunos términos clave:
- Un prisma es un objeto sólido con los mismos extremos y lados planos.
- Si los extremos son una figura de 5 lados donde cada longitud es la misma, tenemos un pentágono regular .
- Un prisma que tiene pentágonos regulares para las piezas finales es un prisma pentagonal .
Rápidamente se da cuenta de que podría necesitar un plegable para ayudar a Richard a visualizar todas las partes de un prisma pentagonal. Afortunadamente, tiene este diagrama en su escritorio.
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Le explica a Richard que las pequeñas lengüetas quedan para unir los lados doblados con cinta adhesiva. El primer esfuerzo produce un prisma de 5 lados razonable. Con su modelo 3D en la mano, Richard vuelve a preguntar cómo calcular su superficie total. Explica que los detalles del cálculo de este área están en encontrar las áreas de superficie del pentágono.
El área de los lados del prisma
La altura de su modelo de prisma estará representada por la letra h , donde h = 8 pulgadas. Cuando se coloca este prisma, vemos h como el ancho de un rectángulo.
Hay cinco lados representados por la letra s , cada uno de los cuales tiene una longitud de 6 pulgadas ( s = 6).
¿Qué es un área protegida?
La longitud total del rectángulo es 5 x 6 = 30 pulgadas; por lo tanto, el área de los lados del prisma es (largo) x (ancho) = 30 x 8 = 240 pulgadas cuadradas.
Hasta ahora, todo lo que hemos usado es la fórmula para el área de un rectángulo y algo de razonamiento.
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Ahora viene la parte divertida; el área de las superficies superior e inferior.
Función y ubicación del área de Broca ¿Qué es el área de Broca?
Área de los Pentágonos
Las superficies superior e inferior son pentágonos. Cada uno de los lados de estos pentágonos tiene una longitud de 6 pulgadas.
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Si trazamos una línea desde el centro del pentágono hasta los dos vértices, formamos un triángulo cuya base mide 6 pulgadas. Hay cinco triángulos como este en el pentágono. Así, el ángulo subtendido que vemos en la figura es 360 o / 5 = 72 o .
Juguemos con uno de estos triángulos.
Hallar el volumen de un prisma triangular
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Si cortamos el ángulo de 72 o por la mitad con una línea vertical, hemos construido un triángulo rectángulo.
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La base es 6/2 = 3 pulgadas, y el ángulo en la parte superior es (72 o ) / 2 = 36 o .
Si supiéramos la longitud de a , podríamos calcular el área de este triángulo como (1/2) base x altura = (1/2) 3 a . Hay 10 de estos triángulos más pequeños en el pentágono. Por lo tanto, el área total del pentágono superior sería 10 veces esta cantidad.
Esto es muy bueno, pero sabemos que el lado s ; no sabemos a . ¡Ingrese a la trigonometría fundamental! La tangente de un ángulo es el lado opuesto dividido por el lado adyacente. Entonces:
bronceado (36 o ) = 3 / a
Y resolviendo para un :
a = 3 / bronceado (36 o )
Ahora tenemos todas las piezas para responder a la pregunta de Richard.
Superficie total del prisma
Repasemos lo que tenemos hasta ahora:
- Área de las superficies laterales = 240 pulgadas cuadradas
- Área de un triángulo más pequeño en el pentágono = (1/2) 3 a pulgadas cuadradas
- La longitud a = 3 / tan (36 o ) pulgadas
- Hay 10 de estos triángulos más pequeños en un pentágono
- Hay dos pentágonos (superior e inferior) superficies
Tenga en cuenta que el lado a tiene un término técnico: se llama apotema .
El área total A viene dada por:
A = área de los lados + 2 (área de un pentágono) porque hay 2 pentágonos.
A = 240 + 2 (10) (área de un triángulo pequeño) porque hay 10 triángulos pequeños en un pentágono
A = 240 + 2 (10) (1/2) (3) a porque el área de un triángulo pequeño es ( 1/2) base x altura = (1/2) (3) a
A = 240 + 2 (10) (1/2) (3) (3) / tan (36 o ), usando a = 3 / tan ( 36 o )
Podemos simplificar esto: 2 (10) (1/2) (3) (3) = 10 (3) (3) = 90.
Por tanto, el área de la superficie total A = 240 + 90 / tan (36 o ).
¿Y el bronceado ( 36o )? Usando una calculadora, tan (36 o ) ≅ .727; entonces, A = 240 + 90 / .727 ≅ 364 pulgadas cuadradas. Richard ahora tiene la superficie total del prisma pentagonal.
Una ecuación general
¿Qué pasa si se van a construir otros prismas con diferentes dimensiones? Sería bueno tener una ecuación de área de superficie que dependiera del número de lados ( n ), la altura ( h ) y la longitud de un lado ( s ).
¿Recuerdas el 72 o ? Ese 72 o viene de 360 o / 5 cuando n es 5, entonces 72 o es 360 o / n . En la ecuación A = 240 + 10 (3) (3) / tan (36 o ), tenemos 36 o , que es la mitad de 360 o / n , o 180 o / n .
Otros elementos:
- El 240 es 6 (8) (5), o en términos de letras, 240 es s ( h ) ( n )
- El 10 (3) (3) es 2 n ( s / 2) ( s / 2), que es ( n / 2) s 2 .
Por tanto, una ecuación general para el área de superficie total es:
A = s ( h ) ( n ) + ( n / 2) s 2 / tan (180 o / n ).
Comprobando nuestra fórmula general:
A = s ( h ) ( n ) + ( n / 2) s 2 / tan (180 o / n )
= 6 (8) (5) + (5/2) 6 2 / tan (180 o / 5)
≅ 240 + 123.874
≅ 364 pulgadas cuadradas, lo que concuerda con nuestro cálculo anterior.
Resumen de la lección
Un prisma es un objeto sólido con los mismos extremos y lados planos. La altura del prisma es h . En esta lección, encontramos una fórmula general para el área de superficie de un prisma pentagonal . Este es un prisma donde los extremos son pentágonos regulares. Los pentágonos regulares tienen 5 lados de igual longitud. Al desarrollar la ecuación general para el área de la superficie, usamos la apotema. La apotema es la longitud de una línea desde el centro del pentágono hacia el costado. Esta línea divide el lado en dos y crea un ángulo recto con el lado. La ecuación general para el área de la superficie A del prisma pentagonal es:
A = s ( h ) ( n ) + ( n / 2) s 2 / tan (180 o / n ) donde s es la longitud del lado del prisma, h es la altura del prisma y n es el número de lados.
Para un prisma pentagonal, n = 5, porque los pentágonos tienen 5 lados.
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