Cómo calcular una permutación

Cómo calcular una permutación

John es un ávido jugador de cartas. Su juego de cartas favorito es el póquer. Para él, la mejor parte de jugar al póquer es el momento en que se reparten las cartas. John siempre ha tenido curiosidad por saber cuántas formas diferentes podría organizar sus cartas. John pareció recordar que esto se llamaba permutación . Investigó y descubrió que una permutación es una disposición de elementos o eventos en los que el orden es importante. La próxima vez que jugó al póquer, quiso calcular de cuántas formas diferentes podría organizar sus cartas que le repartieron. El crupier le repartió un As de espadas, un 7 de tréboles, un 7 de diamantes, una jota de corazones y un 2 de tréboles.

Para calcular esta permutación, John necesitará usar cinco espacios en blanco para representar las cinco cartas que se repartieron a cada jugador. John sabía que tenía cinco tarjetas diferentes que organizar. Entonces, para la primera carta, podría usar cualquiera de las cinco cartas. Entonces, John tenía cinco opciones para la primera carta. Por cada espacio en blanco subsiguiente, John tendrá una opción menos porque está usando tarjetas en los espacios en blanco anteriores. Entonces, en el tercer espacio en blanco tendrá tres opciones; en el cuarto espacio en blanco, dos opciones; y en el quinto espacio en blanco, una opción.

John ahora se da cuenta de que tiene cinco opciones para la primera carta, cuatro opciones para la segunda carta, tres opciones para la tercera carta, dos opciones para la cuarta carta y una opción para la quinta carta. Para encontrar la cantidad de formas en que puede organizar sus tarjetas, ahora necesita multiplicar estos números. John multiplicó 5 * 4 * 3 * 2 * 1, y el producto fue 120. John ahora sabe que hay 120 formas de organizar su mano de cartas de póquer.

Factoriales

Otra forma de pensar en las permutaciones es comprender los factoriales . Un factorial es el producto de todos los enteros positivos iguales y menores que tu número. Un factorial se escribe como un número seguido de un signo de exclamación. Por ejemplo, para escribir el factorial de 5, escribirías 5 !. Para calcular el factorial de 5, deberías multiplicar todos los enteros positivos iguales ay menores que 5. ¡5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1. ¡Al multiplicar estos números, podemos encontrar que 5! = 120.

Veamos otro ejemplo: ¿cómo escribiríamos y resolveríamos el factorial de 10? El factorial de 10 se escribiría como 10 !. ¡Para calcular 10 !, sería igual a 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3.628.800.

Notación de permutación

Al escribir permutaciones, usamos la notación n P r , donde n representa el número de elementos para elegir, P representa permutación y r representa cuántos elementos está eligiendo. Para calcular la permutación usando esta fórmula, usaría n P r = n ! / ( n – r ) !.

John todavía juega al póquer y disfruta de mucho éxito. El crupier pregunta al grupo de seis jugadores si cuatro de ellos desean unirse a un juego privado. John está emocionado pero curioso acerca de cuántas formas diferentes pueden seleccionarse los cuatro jugadores. Usando la fórmula n P r , n representaría el número total de jugadores, que es 6. El término r representaría el número de jugadores que se están eligiendo, que es 4. Entonces, esta ecuación se vería como 6 P 4 .

Para resolver esta ecuación, ¡John calculará 6! y dividirlo entre (6 – 4) !. Lo primero que debe hacer John es restar el (6 – 4) en el denominador para obtener 2. ¡La ecuación de John ahora parece 6! / 2 !. Para calcular 6 !, John multiplicará 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720, y 2! = 2 * 1 = 2. Entonces, ahora tenemos 720/2, lo que equivale a 360. Hay 360 formas en las que cuatro jugadores de la mesa de John pueden ser seleccionados para jugar en una mesa privada.

Ejemplo

Antes de dirigirse al juego de póquer privado, John pasa por el bar. El snack bar hace pizzas y tiene un total de diez ingredientes. El snack bar vende pizzas con un número máximo de cuatro ingredientes. ¿Cuántos tipos diferentes de pizzas con cuatro ingredientes puede hacer John?

Para calcular la cantidad de opciones, ¡necesitaría usar la ecuación 10 P 4 = 10! / (10 – 4)! El primer paso que debe hacer Juan es restar (10 – 4) = 6. ¡Entonces, 10! / (10 – 4)! = 10! / 6 !. Para calcular 10 !, deberías multiplicar 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1. Para calcular el 6 !, deberías multiplicar 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1. El La forma más sencilla de calcular el número total de opciones es cancelar los términos comunes. Dado que aparece 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 tanto en la parte superior como en la inferior, estos términos se pueden cancelar. Entonces, esto dejaría (10 * 9 * 8 * 7) / 1, que es igual a 5.040 / 1, que es igual a 5.040. John puede elegir entre 5.040 tipos diferentes de pizza.

Resumen de la lección

Entonces, repasemos lo que hemos aprendido sobre las permutaciones. Una permutación es una disposición de elementos o eventos en los que el orden es importante. Las permutaciones nos ayudan a encontrar el número total de formas en que se pueden elegir los elementos cuando el orden sí importa. Una herramienta clave para calcular permutaciones son los factoriales. Los factoriales se escriben con un signo de exclamación, por ejemplo, n !. Para encontrar el factorial de un número, multiplica todos los números enteros positivos iguales o menores que ese número. Por ejemplo, ¡7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5.040.

Para calcular las permutaciones, usamos la ecuación n P r , donde n es el número total de opciones y r es la cantidad de elementos que se seleccionan. Para resolver esta ecuación, use la ecuación n P r = n ! / ( n – r ) !.

Los resultados del aprendizaje

Después de esta lección, podrá:

• Expresar las características de una permutación y un factorial.
• Escribe la ecuación para calcular permutaciones.
• Resolver problemas de permutación