Cómo determinar si no existe un límite

Limites

Hay tres tipos diferentes de límites: límites a la izquierda, límites a la derecha y límites a dos lados. Para determinar si existe o no un límite específico, primero debe reconocer qué tipo de límite está buscando.

Por ejemplo, dada una función f ( x ). Elegiremos un valor c de la recta numérica real.

Límites a la izquierda

El límite de la izquierda es el valor al que se acerca la función f ( x ) cuando x se acerca al valor de c desde la izquierda.

Observe que hay un signo menos como superíndice del valor c en la notación límite. Esto es lo que designa el límite de la izquierda. Al determinar el valor de este límite, estudiamos los valores x de f que son menores que c , y avanzamos hacia c .

Este límite solo existirá cuando la función se defina para valores menores que c . Es decir, el límite de la izquierda no existirá en el extremo izquierdo del dominio para la función f .

Por ejemplo, considere la función:

Esta función tiene un dominio de (0, ∞).

Dado que 0 es el extremo izquierdo del dominio de esta función, la función no existe para ningún valor de x menor que 0. Esto significa que el límite izquierdo de esta función no existe en el punto x = 0.

Tenga en cuenta que cuando una función f tiene un dominio que tiene infinito negativo como su único extremo izquierdo, los límites de la izquierda para esta función existirán en todos los puntos de su dominio.

Límites a la derecha

El límite de la derecha es el valor al que se acerca la función f ( x ) cuando x se acerca al valor de c por la derecha:

Observe que hay un signo más como superíndice del valor c en la notación de límite. Esto es lo que designa el límite de la derecha. Al determinar el valor de este límite, estudiamos los valores x de f que son mayores que cy bajamos hacia c .

Este límite solo existirá cuando la función se defina para valores superiores a c . Es decir, el límite de la derecha no existirá en el extremo derecho del dominio para la función f .

Por ejemplo, considere la función:

Esta función tiene un dominio de (-∞, 0 ~).

Dado que 0 es el punto final correcto para el dominio de esta función, la función no existe para ningún valor de x mayor que 0. Esto significa que el límite de la derecha para esta función no existe en el punto x = 0.

Tenga en cuenta que cuando una función f tiene un dominio que tiene el infinito como su único extremo derecho, los límites de la derecha para esta función existirán en todos los puntos de su dominio.

Límites de dos caras

El límite de dos lados es el límite típico que ve que se usa en matemáticas con mayor frecuencia y se denomina simplemente el límite de la función en c . Este límite se basa en los límites unilaterales correspondientes para definirlo.

El límite de dos caras existe solo si:

• El límite de la izquierda existe
• El límite de la derecha existe
• Tanto el límite de la izquierda como el límite de la derecha tienen el mismo valor

Si la función tiene ambos límites definidos en un valor x particular cy esos valores coinciden, entonces el límite existirá y será igual al valor de los límites unilaterales. Si los valores de los límites unilaterales no coinciden, el límite bilateral no existirá.

Por ejemplo, considere la función:

Esta función tiene el dominio:

Sin embargo, cuando probamos puntos a ambos lados de 0, lo que encontramos es que esta función se acerca al infinito negativo cuando nos acercamos a 0 desde la izquierda, y se acerca al infinito cuando nos acercamos a 0 desde la derecha. Esto significa que el límite de dos caras no existe.

Límites y gráficos

Cuando grafica una función f , puedes saber fácilmente cuándo existe el límite de un valor de x particular . Estas son las reglas:

• Si la gráfica tiene un espacio en el valor x c , entonces el límite de dos lados en ese punto no existirá.
• Si la gráfica tiene una asíntota vertical y un lado de la asíntota va hacia el infinito y el otro va hacia el infinito negativo, entonces el límite no existe.
• Si la gráfica tiene un agujero en el valor x c , entonces el límite de dos lados existe y será la coordenada y del agujero.

Considere esta gráfica de la función f :

En esta imagen, primero miramos el punto donde x = 0. Vemos que hay un espacio en ese punto y, por lo tanto, sabemos que el límite de dos lados no existe. Cada límite unilateral existe, pero cada uno tiene valores diferentes.

Ahora veamos el punto donde x = 1. Aquí hay un agujero en el gráfico, pero el límite existe. De hecho, el límite es el valor de la coordenada y del agujero. En este caso, el valor sería y = 1 y, por lo tanto, el límite cuando x llega a 1 es 1. En notación matemática, se ve así:

Resumen de la lección

En resumen, reafirmemos las conclusiones más importantes de esta lección:

• El límite de la izquierda no existirá en el extremo izquierdo del dominio de la función f
• El límite de la derecha no existirá el extremo derecho del dominio de la función f
• El límite bilateral no existirá cuando alguno de los límites unilaterales no exista o cuando sus valores no sean iguales.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador