Cómo encontrar el eje mayor de una elipse

La definición de una elipse

Cuando pensamos en formas geométricas, la palabra elipse no nos viene a la mente de inmediato, pero las elipses son más comunes de lo que pensamos. Pueden ser muy pequeños, como el huevo de un pájaro, o muy grandes, como la órbita de la tierra alrededor del sol. Una elipse es una forma geométrica que parece un círculo estirado que se ha tirado de forma horizontal o vertical. Una elipse puede definirse adicionalmente por nombrar dos puntos importantes en la elipse como la focos (el plural de enfoque), los puntos, F y G . Otro punto de la elipse se llamará P .

Encontrar los ejes mayor y menor

De acuerdo, ¡prepárate para aprender vocabulario! El punto en el centro de la elipse es el centro de la elipse. ¡Eso fue fácil! A continuación, dibujamos una línea a través del centro que conecta los focos en cada extremo de la elipse. La línea más larga es el eje mayor . El eje mayor conecta F y G , que son los vértices , los puntos de la elipse. Si dibujamos una línea de 90 grados, o perpendicular, al eje mayor, la línea corta es el eje menor . Los puntos que conecta el eje menor son los co-vértices . Tiene mucho vocabulario, pero es necesario para encontrar el eje mayor de una elipse.

Como conocemos los focos F y G y otro punto en la elipse, encontrar el eje mayor no fue tan difícil. Ahora, aquí hay una regla fácil de recordar sobre las elipses: dado que FP + GP es constante para cada punto de la elipse, también es lo mismo para cualquier punto, P y un vértice (el singular de los vértices) como se muestra en el siguiente diagrama:

La ecuación de la longitud del eje mayor se vería así:

FP + GP = FV + GV

FV y GV nos dan la longitud del eje mayor. Si F y G son los focos de una elipse, y P es cualquier punto de la elipse, entonces el eje mayor también se conoce como FP + GP .

Ahora que conocemos los focos y un punto de la elipse, podemos seguir tres sencillos pasos para encontrar el eje mayor:

• Paso 1: usa la fórmula de la distancia para encontrar FP
• Paso 2: usa la fórmula de la distancia para encontrar GP
• Paso 3: agregue FP y GP

Bastante simple, ¿eh? Es una buena idea revisar la fórmula de la distancia, ya que la usaremos para encontrar distancias. La fórmula de distancia utilizada para encontrar la distancia entre ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ) se encuentra en esta imagen:

Soluciones a un problema

Ahora, para encontrar el eje mayor en la imagen de arriba, todo lo que necesitamos son los focos, F y G , y P , como el punto en la elipse. Luego seguimos estos tres pasos:

• Paso 1: usa la fórmula de la distancia para encontrar FP
• Paso 2: usa la fórmula de la distancia para encontrar GP
• Paso 3: agregue FP y GP

Ahora que sabemos cómo encontrar el eje mayor de una elipse, ¡pongámoslo en práctica! Recuerde, al comienzo de esta lección, una órbita planetaria alrededor del sol es solo otra elipse. Ahora, pensemos en la órbita de la Tierra alrededor del Sol. Los números serán una estimación aproximada, pero muy cercana: unos pocos millones de millas más o menos. Cuando la Tierra orbita alrededor del Sol, sigue el camino de una elipse, donde el Sol es uno de los focos.

La longitud del eje mayor será la distancia más lejana entre los dos puntos por los que pasa la Tierra durante su órbita. Averigüemos la longitud del eje mayor:

Si colocamos la órbita de la Tierra en una cuadrícula con su punto central en el origen de un x – y sistema de coordenadas, y x e y están en millones, a continuación, los focos radicaría en los puntos F con coordenadas (-1,6, 0) y G con coordenadas en (1.6, 0). En algún momento durante su órbita, la Tierra pasaría por P con coordenadas (50, 77) como se muestra en la siguiente imagen:

Esto puede parecer intimidante, pero vayamos paso a paso. Primero, encontraremos FP usando la fórmula de distancia:

Vemos que FP ≈ 92.69 millones de millas . A continuación, usaremos la fórmula de la distancia nuevamente para encontrar GP :

La respuesta para GP ≈ 90,95 millones . El siguiente y último paso es el más fácil: simplemente agregue FP + GP . Entonces:

92,69 millones + 90,95 millones = 183,64 millones de millas

Ahora conocemos la longitud del eje principal de la órbita de la tierra alrededor del sol. Vaya, es increíble que encontrar el eje mayor de una elipse sea realmente bastante simple, pero puede usarse para algo tan avanzado como la exploración espacial. ¡Podemos ver que el estudio de las matemáticas puede llegar hasta el espacio exterior!

Rodrigo Ricardo Editor y fundador