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Comparación de triángulos con el teorema de la bisagra

Publicado el 24 noviembre, 2020

El teorema de la bisagra

Suponga que usted y su amiga Mary están caminando por una casa encantada en un parque de diversiones y se encuentran con una trampilla en el suelo por la que tienen que pasar. Primero, abre la puerta de modo que la longitud de la abertura sea lo suficientemente grande para que puedas pasar por ella. Mary va en segundo lugar y tiene que abrir la puerta un poco más para que la longitud de la abertura sea lo suficientemente grande como para que ella pase.

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¿Observa que cuando la longitud de la abertura es más corta, el ángulo en la bisagra de la puerta es menor que cuando la longitud de la abertura es mayor? ¿También nota que la longitud de la puerta y la longitud del piso de la puerta siguen siendo las mismas en ambos casos, y es solo la longitud de la apertura y el ángulo de la bisagra lo que cambia? ¡Esto tiene un gran significado matemático! Tan grande que hay un teorema que explica este fenómeno, y se le llama apropiadamente teorema de la bisagra.

El teorema de la bisagra establece que si dos triángulos tienen dos lados congruentes (lados de igual longitud), entonces el triángulo con el ángulo más grande entre esos lados tendrá un tercer lado más largo. Esto también da paso a la inversa del teorema de la bisagra, que establece que si dos triángulos tienen dos lados congruentes, entonces el triángulo con el tercer lado más largo tendrá un ángulo más grande opuesto al tercer lado.

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Para ilustrar esto, piense de nuevo en la trampilla. Cuando lo abrimos, creamos un triángulo. Un lado es la puerta, un lado es la longitud del piso de la puerta y el tercer lado es la longitud de la abertura. Cuanto más abra la puerta, mayor será el ángulo de la bisagra y mayor la longitud de la abertura.

Cuando se pone así, ¡parece sentido común! ¡Echemos un vistazo al uso de este teorema para comparar triángulos y en una aplicación!

Comparación de triángulos usando el teorema de la bisagra

Supongamos que tenemos dos triángulos como se muestra en la imagen.

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Se indica que el lado AB es congruente con el lado DE y el lado BC es congruente con el lado EF. También se nos da que ∠ABC mide 63 grados y ∠DEF mide 82 grados. Con base en esto, ¿qué podemos concluir sobre cómo se comparan los lados AC y DF? Si estás pensando que el teorema de la bisagra nos dice que DF es más largo que AC, ¡tienes razón! Debido a que los dos triángulos tienen dos lados congruentes, y el ángulo entre esos lados es mayor en ΔDEF, el teorema de la bisagra nos dice que ΔDEF tendrá un tercer lado más largo, por lo que DF es más largo que AC.

Ahora, considere otros dos triángulos que se muestran en la imagen.

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Esta vez, se nos da que los dos triángulos tienen dos lados congruentes, y que AC tiene una longitud de 7 pulgadas y DF tiene una longitud de 6 pulgadas. Podemos usar el inverso del teorema de la bisagra para concluir que ∠ABC es mayor que ∠DEF, porque ∠ABC es opuesto al tercer lado más largo.

Bastante ordenado, ¿eh? ¡Hagámoslo aún más interesante mirando una aplicación!

Aplicación del teorema de la bisagra

Suponga que hay dos aviones en ruta hacia el mismo aeropuerto que se muestra en la imagen.

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La imagen muestra que el avión 1 viene del este y está a 181 millas de Simpson City, y el avión 2 viene del oeste y está a 181 millas de Simpson City en una dirección diferente. Simpson City está a 100 millas directamente al norte del aeropuerto. Por lo tanto, podemos crear dos triángulos (ΔABC y ΔABD) donde el lado AB está en ambos triángulos, por lo que obviamente es congruente consigo mismo, y BC y BD son congruentes porque tienen una longitud igual de 181 millas. También se nos dan los ángulos incluidos de estos lados congruentes como ∠ABC = 48 grados y ∠ABD = 113 grados.

Supongamos que quisiéramos saber qué avión está más cerca del aeropuerto. Hmmm … ¿ves cómo podemos aplicar el teorema de la bisagra aquí? Tenemos dos triángulos con dos lados congruentes (AB y AB, BC y BD), y los terceros lados de ambos triángulos son iguales a la distancia desde el plano correspondiente al aeropuerto. ¡Ah-ja! El plano del triángulo con el ángulo incluido más grande está más lejos del aeropuerto, porque el teorema de la bisagra dice que el tercer lado será más grande en este triángulo.

Como 113> 48, el teorema de la bisagra nos dice que AD es más largo que AC, por lo que el avión 2 está más cerca del aeropuerto. ¡Este teorema de la bisagra es bastante útil!

Resumen de la lección

El teorema de la bisagra establece que si dos triángulos tienen dos lados congruentes (lados de igual longitud), entonces el triángulo con el ángulo más grande entre esos lados tendrá un tercer lado más largo. El inverso del teorema de la bisagra establece que si dos triángulos tienen dos lados congruentes, entonces el triángulo con el tercer lado más largo tendrá un ángulo mayor opuesto al tercer lado.

Podemos usar el teorema de la bisagra y su inverso para comparar triángulos y determinar cómo se comparan los ángulos y lados de triángulos con dos lados congruentes en términos de longitud y medida. Esto es muy útil, no solo en el estudio de las matemáticas, sino también en aplicaciones de la vida real en las que queremos determinar cómo se comparan varias distancias y ángulos entre sí. ¡Este es definitivamente uno de esos teoremas para guardar en su caja de herramientas matemáticas mental para uso futuro!

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