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Demostrar la congruencia de los triángulos: explicación y ejemplos

Publicado el 24 noviembre, 2020

El lote baldío

Una mujer era dueña de un terreno baldío que tenía la forma de un rectángulo de 75 por 125 pies. A los vecinos de ambos lados del lote les gustaba cultivar el jardín allí. Ambos vecinos pensaron que el otro vecino ocupaba más que su parte del lote. Cada vecino también asumió que el dueño era parcial con el otro vecino. Para terminar con sus disputas, el propietario construyó una cerca en diagonal a lo largo del rectángulo, creando dos triángulos. Los vecinos no sabían qué pensar. ¿Serían estos triángulos del mismo tamaño? Al final resultó que, estos triángulos eran del mismo tamaño, y el propietario estaba siendo justo. Puedes probar esto usando un teorema de congruencia de triángulos. Esta lección le mostrará los cinco teoremas de atajos diferentes para demostrar que dos triángulos son congruentes.


Terreno baldío
Terreno baldío

Congruencia versus similitud

Hay dos palabras en el mundo de los triángulos que se parecen mucho. Esas palabras son congruencia y similitud. Los triángulos pueden ser congruentes o similares, y solo hay una pequeña diferencia en su definición. Los triángulos congruentes son triángulos que tienen exactamente la misma longitud para sus lados y la misma medida para sus ángulos. Son del mismo tamaño y forma. Los triángulos similares tienen ángulos del mismo tamaño y la longitud de sus lados es proporcional. Tienen la misma forma (pero no necesariamente el mismo tamaño). Las palabras congruente e igual también tienen definiciones similares. Congruente significa que dos cosas tienen el mismo tamaño. La congruencia se representa mediante el símbolo (=). Igual significa que dos cosas tienen el mismo número.

Teorema SSS (lado-lado-lado)

Si los tres lados de un triángulo son congruentes con los tres lados de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. No es necesario encontrar las medidas de los ángulos.


Teorema SSS
SideSideSide

Teorema SAS (lado-ángulo-lado)

Si dos lados de un triángulo y el ángulo entre ellos son congruentes con dos lados y el ángulo entre ellos de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes. No es necesario encontrar el valor del tercer lado o de los otros dos ángulos.


Teorema de SAS
SideAngleSide

Teorema de ASA (ángulo-lado-ángulo)

Si dos ángulos y el lado entre ellos de un triángulo son congruentes con dos ángulos y el lado entre ellos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. No es necesario verificar el valor del tercer ángulo o de los otros dos lados.


Teorema de ASA
AngleSideAngle

Teorema de AAS (ángulo-ángulo-lado)

Si dos ángulos y el lado opuesto del segundo ángulo de un triángulo son congruentes con dos ángulos y el lado opuesto del segundo ángulo de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. No es necesario comprobar el valor del otro ángulo o de los otros dos lados.


Teorema de AAS
ÁnguloÁnguloLado

Teorema de HL (hipotenusa-pierna)

Este teorema solo debe usarse con triángulos rectángulos. Si la hipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo son congruentes con la hipotenusa y el cateto de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.


Teorema de NS
HipotenusaPierna

No todo funciona

Hay un par de posibilidades que no aseguran que los triángulos sean congruentes. AAA (ángulo, ángulo, ángulo) no garantiza que los triángulos sean congruentes. Solo se puede usar para demostrar que los triángulos son similares. SSA (lado, lado, ángulo) no se puede usar para probar que dos triángulos son congruentes.


No prueba la congruencia
No funciona

Ejemplo

Dado que el segmento de línea AB es congruente con el segmento de línea DE, el segmento de línea AC es congruente con DF y el ángulo A es congruente con el ángulo D; demuestre que el triángulo ABC es congruente con el triángulo DEF.


Triángulos congruentes
TriánguloEjemplo

Se nos da que AB = DE, AC = DF y el ángulo A = ángulo D. Eso nos da dos lados de un triángulo y el ángulo entre ellos es congruente con dos lados y el ángulo entre ellos de otro triángulo. Esa es suficiente información para usar el teorema de SAS. Triángulo ABC = Triángulo DEF.

Resumen de la lección

Si dos triángulos son congruentes , entonces los tres lados y los tres ángulos de un triángulo serán congruentes con los lados y ángulos del otro triángulo. Puede medir los seis lados y los seis ángulos para asegurarse de que sean iguales, o puede usar los teoremas de atajos que le permiten decir que son congruentes. Hay cuatro teoremas que se pueden aplicar a todos los triángulos (SSS, SAS, ASA y AAS). La S representa el lado y la A el ángulo. Hay otro teorema que se aplica solo a los triángulos rectángulos. Este sería el teorema de HL (hipotenusa y cateto).

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