Desigualdades en un triángulo

Teorema del ángulo mayor / lado mayor

Mientras planifica una excursión de un día a un parque de diversiones, suponga que está mirando un mapa del parque y conecta tres atracciones diferentes usando líneas rectas, creando un triángulo, Δ RST . Un triángulo es un polígono de tres lados y tres ángulos. Hay algunas desigualdades interesantes que relacionan los lados y los ángulos de un triángulo. Estas desigualdades nos permiten encontrar varias características de un triángulo.

Por ejemplo, considere un triángulo, Δ ABC , con el lado de longitudes de un , b , y c opuesto al ángulo correspondiente, que siempre será el caso de que una > b , si y sólo si ∠ A > ∠ B . En otras palabras, los lados más largos siempre se encuentran opuestos a ángulos mayores. Esto a veces se denomina teorema del ángulo mayor y del lado mayor .

Este teorema puede resultar realmente útil al analizar triángulos. Para ilustrar esto, suponga que mide los ángulos de su triángulo en su mapa usando una brújula, y termina con lo siguiente:

• ∠ T = 72 grados
• ∠ S = 39 grados
• ∠ R = 69 grados

Con base en esto y en nuestro teorema del ángulo mayor y del lado mayor, ¿puedes determinar qué dos lados tienen la mayor distancia entre ellos? ¿Puedes determinar qué dos atracciones tienen la mayor distancia entre ellas? Si estás pensando que es la montaña rusa y el barco que se hunde, ¡tienes razón! Por nuestro teorema, el lado más largo del triángulo será frente al ángulo más grande, que es ∠ T . El lado opuesto a ∠ T es la línea que conecta la montaña rusa y el barco que se hunde, por lo que estos dos paseos tienen la mayor distancia entre ellos.

Bastante ordenado, ¿eh? Exploremos otro teorema muy conocido sobre las desigualdades en triángulos llamado teorema de desigualdad de triángulos.

El teorema de la desigualdad del triángulo

El teorema de la desigualdad del triángulo es un teorema que describe cómo se relacionan entre sí las longitudes de los lados de un triángulo. Establece que en un triángulo, la suma de dos lados cualesquiera de un triángulo debe ser más larga que el tercer lado.

La demostración de este teorema se basa en el teorema de la distancia más corta, que establece que la distancia más corta entre un punto, x , y una línea, l , es la línea perpendicular a la línea l , que pasa por x .

Para demostrar el teorema de la desigualdad del triángulo, necesitaríamos demostrar que las tres desigualdades son verdaderas. Consideremos solo una de las desigualdades, ya que las otras dos se probarían exactamente de la misma manera.

Primero dibuja un triángulo, Δ ABC , y también dibujar un segmento de línea desde el punto B perpendicular a lado AC , llame al punto de intersección D . Lo demostraremos:

• BC + AB > AC

Ahora, por el teorema de la distancia más corta, tenemos que CD es la distancia más corta de C a BD , entonces CD < BC . De manera similar, AD es la distancia más corta de A a BD , por lo que AD < AB . Por tanto, tenemos las siguientes dos desigualdades:

• CD < BC
• AD < AB

Si sumamos los lados correspondientes de cada desigualdad, obtenemos:

• CD + AD < BC + AB

¡Casi estámos allí! Observe que CD + AD = AC , por lo que conectamos AC para CD + AD en la desigualdad para obtener:

• AC < BC + AB o BC + AB > AC

Esto prueba el teorema de esta desigualdad. Como dijimos, las otras dos desigualdades se prueban exactamente de la misma manera, y probar las tres demuestra el teorema.

De acuerdo, tienes que admitir que es genial. Echemos un vistazo a un ejemplo de cómo podemos usar estos teoremas que hemos aprendido.

Ejemplo

Considere Δ RST en nuestro mapa nuevamente. Ya sabemos que el lado más largo es el que está entre la montaña rusa y el barco que se hunde. Pudimos resolver esto usando nuestro teorema de ángulo mayor y lado mayor. Ahora, suponga que encontramos que la distancia entre el Tilt O Whirl y la montaña rusa es 0.25 millas, y la distancia entre el Tilt O Whirl y el Barco que se hunde es 0.68 millas. ¿Cómo podemos encontrar un límite superior para la distancia entre la montaña rusa y el barco que se hunde?

Probablemente estés pensando que podemos usar nuestro teorema de desigualdad triangular, ¡y tienes razón! Según el teorema, debe darse el caso de que la suma de los dos lados entre el Tilt O Whirl y la Roller Coaster y entre el Tilt O Whirl y el Sinking Ship, debe ser mayor que el lado entre el Roller Coaster y el Sinking Ship. .

TR + TS = 0,25 + 0,68 = 0,93> RS

Por lo tanto, 0.93 millas deben ser mayores que la distancia entre la montaña rusa y el barco que se hunde, ¡así que este es nuestro límite superior! La distancia entre estas dos atracciones debe ser inferior a 0,93 millas.

Resumen de la lección

Dediquemos un par de minutos a revisar lo que hemos aprendido. Un triángulo es un polígono de tres lados y tres ángulos. Las longitudes de los lados y el tamaño de los ángulos de un triángulo se pueden examinar mediante varios teoremas de desigualdad. Dos de estos teoremas son el teorema del ángulo mayor y el lado mayor y el teorema de la desigualdad del triángulo.

El teorema del ángulo mayor y del lado mayor establece que dentro de un triángulo, los lados más largos se encuentran opuestos a ángulos mayores, y el teorema de desigualdad del triángulo establece que la suma de dos lados cualesquiera de un triángulo debe ser mayor que el tercer lado.

Estos teoremas y desigualdades son muy útiles cuando se trata de triángulos. ¡Otro gran concepto para guardar en nuestra caja de herramientas matemáticas para usar en el futuro!

Rodrigo Ricardo Editor y fundador