Diferenciación implícita: ejemplos y fórmula

Publicado el 24 noviembre, 2020

¿Qué es la diferenciación implícita?

Hasta este punto del cálculo, la mayoría de las funciones que se han derivado estaban en forma explícita.

La forma explícita es el estándar y = 2 x + 5 o cualquier otra función donde y está en un lado del signo igual y x está en el otro.

Funciones implícitas son diferentes, en que x y y pueden estar en el mismo lado.

Un ejemplo sencillo es: xy = 1. Es aquí donde se utiliza la diferenciación implícita.

Recuerde, ya ha utilizado todas estas reglas de derivadas. y acaba de ser aislado para ti.

¿Qué sucede cuando tomas la derivada de y = 2 x ? Vamos a ver:

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y dy / dx

Cada vez que tomamos la derivada de una variable y , escribiremos y ‘o dy / dx .

Recuerde, todas las demás reglas de derivadas aún se aplican.

Ejemplos

Ej 1: Encuentre dy / dx dado que y ^ 3 + 2y ^ 2 – 3y + x ^ 2 = -2 (Escrito en la imagen de abajo)

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Para empezar, tomemos la derivada de y ^ 3. El 3 se mueve hacia abajo frente a la y y el exponente disminuye en 1 … al igual que nuestra derivada estándar.

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Sin embargo, cuando encontramos dy / dx , tomamos la derivada con respecto a x . (Cada vez que ha tomado la derivada de forma explícita, ha estado utilizando este mismo método).

En este caso, nuestra variable es a y, por lo que tenemos que ir un paso más allá. Ese paso es la regla de la cadena, donde f (x) = x ^ 3 y g (x) = y .

Como ya hemos tomado la derivada de f (x) … necesitamos encontrar la derivada de g (x) o simplemente y . La derivada de y es dy / dx .

La regla de la cadena nos dice que la derivada es f ‘(g (x)) * g’ (x) o:

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¡Eso es genial! Ahora podemos usar el mismo método para derivar el resto de las variables y .

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Observe cómo cada término que tenía una y ahora tiene una dy / dx

Para terminar de tomar la derivada, tenemos que encontrar dy / dx de x ^ 2 y de -2. Aquí todo es normal.

dy / dx de x ^ 2 = 2 x y dy / dx de -2 = 0. Poniendo todas nuestras derivadas individuales juntas, obtenemos:

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Pero hemos terminado? La respuesta a eso es no. Para terminar de tomar una derivada implícitamente correctamente, necesitamos resolver para dy / dx . Para hacer esto, trate dy / dx como si fuera una variable más y use sus habilidades de álgebra para aislarla y resolverla.

Primero: reste todo lo que no tenga dy / dx al otro lado del signo igual.

Segundo: factorizar dy / dx .

Tercero: Divida ambos lados por lo que queda después de factorizar.

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Derivar -> Aislar -> Resolver

Ej: 2 Encuentre dy / dx dado xyy = 3

Siempre que tenga dos variables en contacto, debe utilizar la Regla de producto:

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Algunas pautas simples

La diferenciación implícita es tan simple como la diferenciación “normal”. De hecho, todo lo que tienes que hacer es tomar la derivada de todos y cada uno de los términos de una ecuación. Solo debes recordar que la derivada es con respecto ax . Esto significa que hay un paso adicional al derivar un término con una variable y .

Aquí hay algunas pautas simples a seguir.

1. Diferencia ambos lados de una ecuación con respecto a x .

2. Siempre que se multipliquen o dividan dos variables, utilice la regla de la derivada respectiva.

(EX: xy , x / y , 4 xy ^ 2 , etc.todos involucran una regla de producto o cociente)

3. Reúna todos los términos que involucren dy / dx en un lado de la ecuación y todos los demás términos en el otro lado.

4. Trate dy / dx como una variable. Factoriza dy / dx a partir de la ecuación.

5. Resuelva para dy / dx .

¡Ahora puedes diferenciar implícitamente!

Resumen de la lección

Dediquemos un par de minutos a revisar lo que hemos aprendido.

Aprendimos los siguientes términos clave:

  • Forma explícita : el estándar y = 2 x + 5, o cualquier otra función donde y está en un lado del signo igual y x está en el otro
  • Funciones implícitas – son diferentes en que x y y pueden estar en el mismo lado

Una vez completada la lección sobre diferenciación implícita, ahora probablemente pueda confirmar su capacidad para hacer lo siguiente:

  • Comprender la diferenciación implícita
  • Contraste forma explícita y función implícita
  • Dar ejemplos de diferenciación implícita

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