Diferenciación implícita: ejemplos y fórmula

¿Qué es la diferenciación implícita?

Hasta este punto del cálculo, la mayoría de las funciones que se han derivado estaban en forma explícita.

La forma explícita es el estándar y = 2 x + 5 o cualquier otra función donde y está en un lado del signo igual y x está en el otro.

Funciones implícitas son diferentes, en que x y y pueden estar en el mismo lado.

Un ejemplo sencillo es: xy = 1. Es aquí donde se utiliza la diferenciación implícita.

Recuerde, ya ha utilizado todas estas reglas de derivadas. y acaba de ser aislado para ti.

¿Qué sucede cuando tomas la derivada de y = 2 x ? Vamos a ver:

y dy / dx

Cada vez que tomamos la derivada de una variable y , escribiremos y ‘o dy / dx .

Recuerde, todas las demás reglas de derivadas aún se aplican.

Ejemplos

Ej 1: Encuentre dy / dx dado que y ^ 3 + 2y ^ 2 – 3y + x ^ 2 = -2 (Escrito en la imagen de abajo)

Para empezar, tomemos la derivada de y ^ 3. El 3 se mueve hacia abajo frente a la y y el exponente disminuye en 1 … al igual que nuestra derivada estándar.

Sin embargo, cuando encontramos dy / dx , tomamos la derivada con respecto a x . (Cada vez que ha tomado la derivada de forma explícita, ha estado utilizando este mismo método).

En este caso, nuestra variable es a y, por lo que tenemos que ir un paso más allá. Ese paso es la regla de la cadena, donde f (x) = x ^ 3 y g (x) = y .

Como ya hemos tomado la derivada de f (x) … necesitamos encontrar la derivada de g (x) o simplemente y . La derivada de y es dy / dx .

La regla de la cadena nos dice que la derivada es f ‘(g (x)) * g’ (x) o:

¡Eso es genial! Ahora podemos usar el mismo método para derivar el resto de las variables y .

Observe cómo cada término que tenía una y ahora tiene una dy / dx

Para terminar de tomar la derivada, tenemos que encontrar dy / dx de x ^ 2 y de -2. Aquí todo es normal.

dy / dx de x ^ 2 = 2 x y dy / dx de -2 = 0. Poniendo todas nuestras derivadas individuales juntas, obtenemos:

Pero hemos terminado? La respuesta a eso es no. Para terminar de tomar una derivada implícitamente correctamente, necesitamos resolver para dy / dx . Para hacer esto, trate dy / dx como si fuera una variable más y use sus habilidades de álgebra para aislarla y resolverla.

Primero: reste todo lo que no tenga dy / dx al otro lado del signo igual.

Segundo: factorizar dy / dx .

Tercero: Divida ambos lados por lo que queda después de factorizar.

Derivar -> Aislar -> Resolver

Ej: 2 Encuentre dy / dx dado xy – y = 3

Siempre que tenga dos variables en contacto, debe utilizar la Regla de producto:

Algunas pautas simples

La diferenciación implícita es tan simple como la diferenciación «normal». De hecho, todo lo que tienes que hacer es tomar la derivada de todos y cada uno de los términos de una ecuación. Solo debes recordar que la derivada es con respecto ax . Esto significa que hay un paso adicional al derivar un término con una variable y .

Aquí hay algunas pautas simples a seguir.

1. Diferencia ambos lados de una ecuación con respecto a x .

2. Siempre que se multipliquen o dividan dos variables, utilice la regla de la derivada respectiva.

(EX: xy , x / y , 4 xy ^ 2 , etc.todos involucran una regla de producto o cociente)

3. Reúna todos los términos que involucren dy / dx en un lado de la ecuación y todos los demás términos en el otro lado.

4. Trate dy / dx como una variable. Factoriza dy / dx a partir de la ecuación.

5. Resuelva para dy / dx .

¡Ahora puedes diferenciar implícitamente!

Resumen de la lección

Dediquemos un par de minutos a revisar lo que hemos aprendido.

Aprendimos los siguientes términos clave:

• Forma explícita : el estándar y = 2 x + 5, o cualquier otra función donde y está en un lado del signo igual y x está en el otro
• Funciones implícitas – son diferentes en que x y y pueden estar en el mismo lado

Una vez completada la lección sobre diferenciación implícita, ahora probablemente pueda confirmar su capacidad para hacer lo siguiente:

• Comprender la diferenciación implícita
• Contraste forma explícita y función implícita
• Dar ejemplos de diferenciación implícita

Rodrigo Ricardo Editor y fundador