Discontinuidades removibles: definición y concepto

Definición de discontinuidad removible

Una discontinuidad removible es un punto en el gráfico que no está definido o no se ajusta al resto del gráfico. Hay un espacio en el gráfico en esa ubicación. Una discontinuidad removible está marcada por un círculo abierto en un gráfico en el punto donde el gráfico no está definido o tiene un valor diferente, como este:

Una discontinuidad removible.

¿Lo ves? Hay un pequeño círculo abierto en el punto donde x ≈ 2.5.

Hay dos formas de crear una discontinuidad removible. Hablemos del primero ahora.

Discontinuidad creada

Se puede crear una discontinuidad removible definiendo un punto en el gráfico como este.

Definiendo un blip.

Esta función nos dice que el gráfico generalmente sigue la función f (x) = x ^ 2 – 1 excepto en el punto x = 4. Cuando lo graficamos, necesitaremos dibujar un pequeño círculo abierto en ese punto del gráfico. y marque que es igual a 2 en ese punto. Esta es una discontinuidad creada. Si fue usted quien definió la función, puede eliminar fácilmente la discontinuidad redefiniendo la función. Mirando la función f (x) = x ^ 2 – 1, podemos calcular que en x = 4, f (x) = 15. Entonces, si redefinimos nuestro punto en x = 4 para que sea igual a 15, habremos eliminado nuestra discontinuidad.

Redefiniendo el blip para que desaparezca.

Si tuviéramos que graficar esta ecuación, obtendríamos una gráfica continua sin discontinuidades. Cuando vea funciones escritas así, asegúrese de comprobar si la función realmente tiene una discontinuidad o no. A veces, la función es continua, pero está escrita como si no fuera solo para ser engañosa.

¿Qué son los agujeros?

Otra forma de obtener una discontinuidad removible es cuando la función tiene un agujero. Se crea un agujero cuando la función tiene el mismo factor tanto en el numerador como en el denominador. Este factor puede cancelarse, pero aún debe tenerse en cuenta al evaluar la función, como al graficar o encontrar el rango. Cuando se trata de una función como esta, habrá algún punto en el que la función no esté definida. Mira esta función, por ejemplo.

Una función con un agujero.

Esta función tiene el factor x – 4 tanto en el numerador como en el denominador. ¿Qué sucede en el punto x = 4? Veamos.

La función no está definida en x = 4.

Obtenemos una respuesta interesante de 0/0, que en términos matemáticos no está definida. Entonces, esta función no está definida en el punto donde x = 4. Aquí tenemos una discontinuidad removible porque la función tiene un agujero en x = 4 causado por tener el mismo factor tanto en el numerador como en el denominador. Podemos redefinir nuestra función para tener en cuenta este agujero recordando que si tiene el mismo factor tanto en el numerador como en el denominador, entonces puede cancelar los términos. Cuando lo haga, la función se puede reescribir de la siguiente manera.

Redefiniendo nuestra función para incluir el agujero.

Habiendo reescrito nuestra función, vemos que la función generalmente se ve como la gráfica de y = x excepto en el punto x = 4.

Encontrar agujeros

Pueden existir huecos para expresiones racionales cuando tienes factores que se cancelan en el numerador y denominador. Quizás puedas factorizar un polinomio en el numerador, en el denominador o en ambos. Para encontrar huecos, recuerda que debe haber un factor común en la parte superior e inferior de la fracción. Veamos cómo funciona este proceso para una función de muestra.

Encontrar un agujero.

Después de factorizar mi función, hemos encontrado que hay un factor común de x + 2 en el numerador y denominador. Resolviendo que para 0, hay un agujero en x = -2. Cuando grafica lo que queda, obtienes una línea con un pequeño círculo abierto en x = -2.

Puede haber varios agujeros en una función. Si tienes un polinomio en el denominador, puede haber más de un hueco en la función. Por ejemplo, en esta función hay dos lugares donde no está definido:

Dos valores indefinidos en función.

En esta función racional, x + 1 se cancela pero aún debe considerarse al graficar la función. Habrá dos lugares donde esta función no está definida, x = -1 y x = -2. En x = -1 habrá un agujero. El factor x + 2 no se cancela, pero -2 se convierte en una asíntota (una línea vertical que denota un valor al que la gráfica se acerca pero nunca alcanza). Esto se tratará en otras lecciones.

Resumen de la lección

Una discontinuidad removible es un punto en el gráfico que no está definido o no se ajusta al resto del gráfico. Hay dos formas de crear una discontinuidad removible. Una forma es definiendo una señal en la función y la otra es que la función tenga un factor común tanto en el numerador como en el denominador. Las discontinuidades removibles están marcadas en el gráfico con un pequeño círculo abierto.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador