Focos y las definiciones de elipses e hipérbolas

Elipses e hipérbolas

Muchos de nosotros somos conscientes de que la Tierra orbita alrededor del Sol viajando a su alrededor. Sin embargo, lo que algunas personas quizás no sepan es que el camino que toma la Tierra alrededor del Sol tiene la forma de una curva matemática llamada elipse.

¡Guauu! ¡Eso es tan cool! Una elipse es una forma matemática que se parece un poco a un círculo que se ha aplastado un poco. Las elipses fueron descubiertas por primera vez por los antiguos griegos durante su estudio de las secciones cónicas, donde las secciones cónicas son curvas que se pueden obtener cortando un cono recto en diferentes ángulos. La elipse se encuentra cortando un cono recto como se muestra.

Otra sección cónica estudiada por los griegos fue la hipérbola. Una hipérbola es una sección cónica que se puede obtener cortando un cono recto como se muestra ahora en la pantalla.

Cuando cortamos el cono de esta manera, la sección transversal es una hipérbola y se parece a dos U con sus partes inferiores enfrentadas.

Hasta ahora, ¡esto es bastante bueno! ¡Quién hubiera pensado que cortar un cono pudiera ser tan interesante! Echemos un vistazo a una característica tanto de la elipse como de la hipérbola que nos permitirá examinar cada curva de manera más técnica.

Focos de una elipse e hipérbola

Tanto una elipse como una hipérbola tienen ciertos puntos llamados focos . Echemos un vistazo a estos puntos en cada una de las curvas.

Primero, hablemos de los focos de una elipse. Los focos de una elipse son dos puntos, F y G , de modo que la distancia de F a cualquier punto P , en la elipse, a G es siempre la misma.

Esta información nos permite dar una definición más técnica de una elipse. Es decir, dados dos puntos, F y G , una elipse es el conjunto de puntos P , tal que FP + PG es constante, y llamamos a los puntos, F y G , los focos de la elipse.

Como dijimos, resulta que las hipérbolas también tienen focos. Para comprender los focos de una hipérbola, es mejor definir la hipérbola en términos de sus focos. Hacer esto también nos dará la definición técnica de una hipérbola, ¡así que demos una oportunidad!

Para dos puntos dados, F y G llamados focos, una hipérbola es el conjunto de puntos, P , de manera que la diferencia entre las distancias, FP y GP , es constante. Es decir, si F y G son los focos de una hipérbola, entonces para cualquier punto, P , en la hipérbola, el valor absoluto de FP – GP es constante.

Hmmm … eso es mucha información. No sé ustedes, pero prefiero pensar en una elipse como un círculo aplastado y una hipérbola como dos U con la parte inferior enfrentada. No obstante, conocer cuáles son los focos de cada una de estas curvas, junto con sus definiciones técnicas, es muy importante al momento de estudiar estos conceptos.

Algunos ejemplos

Echemos un vistazo a un par de ejemplos para comprender mejor las elipses y las hipérbolas.

Primero, considere la elipse que se muestra con focos (-4, 0) y (4, 0). La imagen muestra esta elipse con dos puntos en la elipse etiquetados.

Observe que las distancias desde cada uno de los focos a los puntos de la elipse son las siguientes:

FP 1 = 17/5

GP 1 = 33/5

FP 2 = 29/5

GP 2 = 21/5

Según la definición técnica de una elipse, debería darse el caso de que:

FP 1 + GP 1 = FP 2 + GP 2 .

Bueno, ¡esto es bastante simple de verificar!

FP 1 + GP 1 = (17/5) + (33/5) = 50/5 = 10

FP 2 + GP 2 = (29/5) + (21/5) = 50/5 = 10

¡Mira eso! ¡Resulta exactamente como debería, de acuerdo con la definición de una elipse!

Veamos un ejemplo similar con una hipérbola. La imagen que está mirando muestra una hipérbola con sus focos y dos puntos etiquetados.

Vemos que las distancias entre los focos y los puntos etiquetados son las siguientes:

FP 1 = 4

GP 1 = 8

FP 2 = 14

GP 2 = 10

Según la definición técnica de la hipérbola, debería darse el caso de que:

| FP 1 – GP 1 | = | FP 2 – GP 2 |

Una vez más, sigamos adelante y verifiquemos que esto sea cierto:

| FP 1 – GP 1 | = | 4 – 8 | = 4

| FP 2 – GP 2 | = | 14 – 10 | = 4

¡Excelente! Una vez más, todo está bien, y estos ejemplos aclaran un poco esas definiciones técnicas.

Resumen de la lección

Revisemos. Una elipse es una forma matemática que se parece a un círculo que se ha aplastado un poco, y una hipérbola es una sección cónica que se puede obtener cortando un cono recto. En pocas palabras, una elipse y una hipérbola son secciones cónicas , o curvas que se pueden obtener cortando un cono recto en diferentes ángulos, con la forma de un círculo aplastado y dos U con sus partes inferiores enfrentadas, respectivamente. Tanto una elipse como una hipérbola tienen puntos llamados focos , y usamos estos puntos para definir estas dos curvas técnicamente de la siguiente manera:

• Dados dos puntos, F y G , una elipse es el conjunto de puntos, P , tal que FP + PG es constante, y llamamos a los puntos, F y G , los focos de la elipse.
• Para dos puntos dados, F y G , llamados focos, una hipérbola es el conjunto de puntos, P , de manera que la diferencia entre las distancias, FP y GP es constante.

Aunque estas definiciones técnicas pueden parecer un poco desalentadoras, al trabajar con estas curvas y sus focos, se vuelven más claras y estas curvas se entienden mejor.