Hallar el límite de (1-cos (x)) / x

Pasos para resolver el límite de 1-Cos ( x ) / x

Cuando se trata de encontrar el límite de una función, cuando x se acerca a algún valor a , hay muchos métodos diferentes que se pueden intentar. Dependiendo de la función, algunos de estos métodos funcionarán y otros no. Buscamos encontrar el límite de (1-cos ( x )) / x , cuando x → a .

Para hacer esto, usamos dos métodos diferentes dependiendo del valor de a . Uno es para cuando a = 0, y el otro es para cuando a ≠ 0. Primero, veamos cuando a ≠ 0.

Cuando a ≠ 0, encontrar el límite de (1 – cos ( x )) / x es realmente bastante fácil. Usamos el método de complemento , que implica simplemente conectar a en (1 – cos ( x )) / x para x .

Vemos que cuando a ≠ 0, obtenemos que el límite de (1 – cos ( x )) / x , cuando x → a , es (1 – cos ( a ) / a . Bastante fácil y directo, ¿no ¿decir?

Ahora consideremos cuando a = 0. Cuando este es el caso, es un poco más complicado encontrar este límite. La razón de esto es porque si intentamos usar el método de complemento, terminamos con un cero en el denominador, y una de las reglas número uno en matemáticas es que no podemos dividir por cero.

Por lo tanto, cuando este es el caso, usamos un teorema bien conocido que establece que el límite de sin ( x ) / x , cuando x → 0, es 1.

Quizás se esté preguntando cómo este teorema tiene algo que ver con nuestra función. Bueno, resulta que podemos manipular la función (1 – cos ( x )) / x multiplicando tanto el numerador como el denominador por 1 + cos ( x ) y usando la identidad trigonométrica sin 2 ( x ) = 1 – cos 2 ( x ), terminamos con una función que involucra sin ( x ) / x . Al hacer esto, convertimos el problema en tomar el límite de lo siguiente:

(sin ( x ) / x ) * (sin ( x ) / (1+ cos ( x ))

Ahora usamos la regla del producto para límites , que establece que el límite de un producto de funciones es el producto de los límites de las funciones. Por lo tanto, multiplicamos el límite de sin ( x ) / x , como x → 0, que es 1, por el límite de sin ( x ) / (1 + cos ( x )), como x → 0, que es 0.

Por lo tanto, todos juntos, tenemos que el límite de (1 – cos ( x )) / x , cuando x → 0, es 0.

Solución para encontrar el límite

Cuando a ≠ 0, obtenemos que el límite de (1 – cos ( x )) / x , cuando x → a , es (1 – cos ( a )) / a , y cuando a = 0, obtenemos que el límite de (1 – cos ( x )) / x , cuando x → 0, es 0.

Regla de L’Hopital, método alternativo

Hemos visto cómo encontrar este límite para los diferentes valores posibles de a . Es bastante obvio que el proceso es mucho más complicado cuando a = 0. Bueno, ¡tengo buenas noticias! Si no le gustó el proceso que acabamos de realizar, hay otro método que podemos usar para encontrar el límite cuando a = 0, y se llama Regla de L’Hopital.

La regla de L’Hopital , que lleva el nombre del matemático francés del siglo XVII, Guillaume de l’Hopital, se puede utilizar para encontrar límites cuando el método de complemento da como resultado formas indeterminadas 0/0 o ∞ / ∞. Vimos que si intentamos usar el método de complemento en el límite de (1 – cos ( x )) / x , cuando x → 0, obtenemos la forma indeterminada 0/0. Por lo tanto, podemos usar esta regla para este límite, así que averigüemos cómo.

La regla de L’Hopital también establece que si se usa el método del complemento para encontrar el límite de f ( x ) / g ( x ) cuando x → a da como resultado una forma indeterminada 0/0 o ∞ / ∞, entonces el límite es igual a el límite de f ‘( x ) / g ‘ ( x ) cuando x → a .

Esto nos dice que podemos encontrar el límite de (1 – cos ( x )) / x cuando x → 0 encontrando el límite de la derivada de 1 – cos ( x ) dividido por la derivada de x . Estos son derivados bastante fáciles de encontrar, pero en caso de que no los conozca, aquí están:

• La derivada de 1 – cos ( x ) es sin ( x ).
• La derivada de x es 1.

Bien, usemos esta regla para encontrar nuestro límite. Vemos que, al fin y al cabo, sin (0) / 1 = 0/1, que como sabemos es 0. Una vez más, el límite es 0.

Ya sea que se sienta más cómodo con la regla de L’Hopital o con el primer proceso que usamos, la buena noticia es que tiene opciones. Más buenas noticias: definitivamente sabemos cómo encontrar el límite de (1 – cos ( x )) / x , ya que x → a , que siempre fue el objetivo.

Resumen de la lección

Recapitulemos rápidamente lo que hemos aprendido aquí en esta lección. Al examinar las formas de encontrar el límite de (1-cos ( x )) / x , analizamos un par de métodos. El primer método es el método de complemento , que implica simplemente conectar a en (1-cos ( x )) / x para x . Al hacer eso, vemos que cuando a ≠ 0, obtenemos que el límite de (1-cos ( x )) / x cuando x → a es (1-cos ( a )) / a , que es cuando a ≠ 0 .Cuando un= 0, necesitamos usar un teorema que establece cuándo el límite de sin ( x ) / x , ya que x → 0 es 1 porque 0 nunca puede ser un denominador. Usando la multiplicación y la trigonometría y la regla del producto para límites , que establece que el límite de un producto de funciones es el producto de los límites de las funciones, nos llevará a encontrar la respuesta de 0.

El método alternativo es usar la regla de L’Hopital , que se puede usar para encontrar límites cuando el método de complemento da como resultado formas indeterminadas de 0/0 o ∞ / ∞. En su totalidad, la regla de L’Hopital establece que si se usa el método de complemento para encontrar el límite de f ( x ) / g ( x ) cuando x → a da como resultado una forma indeterminada 0/0 o ∞ / ∞, entonces el límite es igual al límite de f ‘( x ) / g ‘ ( x ) cuando x → a .

Rodrigo Ricardo Editor y fundador