Plan de ataque
La derivada de la cotangente no es una de esas piezas de información que la gente suele tener en la cabeza. Sin embargo, los derivados del seno y el coseno son mucho más conocidos (ver tabla). Para resolver este problema, (1) usaremos identidades trigonométricas para expresar la cotangente como una razón de seno y coseno , y (2) usaremos la regla del cociente para encontrar la derivada de esa razón .
| Derivada de sin ( x ) | cos ( x ) |
| Derivada de cos ( x ) | -pecado ( x ) |
Solución
1. Expresar la cotangente como una razón de seno y coseno.
En caso de que no lo recuerde, aquí hay algunas identidades trigonométricas comunes .
| tan ( x ) = sin ( x ) / cos ( x ) |
| csc ( x ) = 1 / sin ( x ) |
| sec ( x ) = 1 / cos ( x ) |
| cot ( x ) = 1 / tan ( x ) = cos ( x ) / sin ( x ) |
En lugar de encontrar la derivada de la cotangente, tomaremos la derivada del coseno sobre el seno.
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2. Usar la regla del cociente para hallar la derivada del coseno sobre el seno.
La regla del cociente nos da una fórmula que podemos usar cuando intentamos obtener la derivada de un cociente.
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¡Ahora estamos listos para encontrar la derivada de la cotangente aplicando la regla del cociente!
Para el problema que estamos resolviendo, f (x) = cos (x) y g (x) = sin (x)
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A continuación, tomaremos las derivadas del seno y el coseno.
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Sacando el negativo en el numerador, obtenemos:
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Por la identidad pitagórica, el numerador en la ecuación anterior es igual a 1. ¡Además, usando la identidad recíproca, de la tabla anterior, podemos obtener nuestra respuesta!
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