Hallar la derivada de ln (x) / x: procedimientos y pasos

Pasos para resolver

Encontrar la derivada de la función h ( x ) = ln ( x ) / x se reduce a notar que la función h ( x ) es un cociente de funciones. Es decir, h ( x ) = f ( x ) / g ( x ), donde f ( x ) = ln ( x ) y g ( x ) = x . Dado que estamos tratando con un cociente de funciones, vamos a hacer uso de la regla del cociente para derivadas , ¿tiene sentido, verdad?

La regla del cociente para derivadas establece que la derivada de f ( x ) / g ( x ) se puede encontrar usando la fórmula ( g ( x ) ⋅ f ‘( x ) – f ( x ) ⋅ g ‘ ( x )) / ( g ( x )) 2 .

Esa es una fórmula bastante grande, pero todo lo que tenemos que hacer es encontrar las diferentes partes involucradas en la fórmula, conectarlas y simplificar. ¡Podemos hacerlo! Como dijimos, en la función h ( x ) = ln ( x ) / x = f ( x ) / g ( x ), tenemos que f ( x ) = ln ( x ) y g ( x ) = x . Todo lo que necesitamos saber son las derivadas de f y g , y tenemos todas las partes que necesitamos para usar la regla del cociente. ¡Afortunadamente, estos derivados son muy conocidos!

• La derivada de ln ( x ) es 1 / x , entonces f ‘( x ) = 1 / x .
• La derivada de x es 1, entonces g ‘( x ) = 1.

¡Excelente! Tenemos todas nuestras partes, ahora conectémoslas a la regla del cociente y encontremos la derivada de ln ( x ) / x .

Vemos que la derivada de h ( x ) = ln ( x ) / x es (1 – ln ( x )) / x 2 . ¡Esa regla del cociente realmente hace que este problema sea bastante fácil de resolver!

Solución

La derivada de ln ( x ) / x es (1 – ln ( x )) / x 2 .

Solicitud

Ahora que sabemos cómo encontrar la derivada de ln ( x ) / x , hablemos de cómo este nuevo conocimiento podría ser útil. Es decir, ¡hablemos de azúcar! ¿Esperar lo? Quizás se pregunte cómo se relaciona este problema con el azúcar. Bueno, ¡averigüémoslo!

Es posible que sepa que cuando comemos un bocadillo azucarado, nuestro nivel de azúcar en la sangre aumenta y luego vuelve a bajar lentamente. Bueno, mira la gráfica de h ( x ) = ln ( x ) / x .

¿Ves cómo el gráfico aumenta rápidamente, o aumenta, y luego vuelve a bajar lentamente hacia cero? Bueno, esto es exactamente lo que acabamos de decir que hace nuestro azúcar en sangre cuando comemos un bocadillo azucarado.

Suponga que acaba de comer algo deliciosamente dulce, y el aumento de su azúcar en sangre está modelado por nuestra función h ( x ) = ln ( x ) / x , donde h ( x ) es la cantidad de cambio en su azúcar en sangre (en milimoles por litro) después de comer su merienda, y x es el número de minutos que han pasado desde que comió la merienda.

La derivada de esta función, que acabamos de encontrar es h ‘( x ) = (1 – ln ( x )) / x 2 , nos da la tasa a la que esta función aumenta o disminuye. En otras palabras, el derivado puede darnos la velocidad a la que su nivel de azúcar en sangre aumenta o disminuye después de x minutos.

Por ejemplo, si desea saber la velocidad a la que cambia su nivel de azúcar en sangre un minuto después de haber comido su bocadillo, simplemente ingrese x = 1 en la fórmula derivada.

Vemos que 1 minuto después de haber comido el refrigerio, su nivel de azúcar en sangre aumenta con bastante rapidez a 1 mmol / L por minuto.

Ahora, suponga que quiere saber lo mismo, pero 5 minutos después de haber comido su bocadillo. ¡No hay problema! Una vez más, simplemente reemplazamos x = 5 en nuestra fórmula de derivada para encontrar esta tasa.

Vemos que 5 minutos después de que comió su refrigerio, la tasa de cambio de su azúcar en sangre es de aproximadamente -0.024 mmol / L por minuto. El hecho de que sea negativo nos dice que ya ha experimentado su pico y que su nivel de azúcar en sangre está bajando lentamente ahora.

Es bastante bueno que podamos obtener toda esta información con solo conocer la derivada de la función ln ( x ) / x , ¿eh? Ahora que sabemos cómo encontrar esta derivada, siempre podemos encontrar la tasa de cambio de cualquier fenómeno que pueda ser modelado por la función h ( x ) = ln ( x ) / x . No sé ustedes, pero diría que es información bastante útil.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador