Hallar la derivada de xln (x)

Pasos para resolver

Para encontrar la derivada de x ln ( x ), utilizaremos la regla del producto para las derivadas . La regla del producto para derivadas establece que para tomar la derivada de un producto de funciones, multiplicamos la derivada de la primera función por la segunda función y la sumamos a la derivada de la segunda función multiplicada por la primera función. La siguiente ecuación muestra esto en forma de símbolo:

Podemos usar esta regla para hallar la derivada de x ln ( x ) porque es un producto de las funciones f ( x ) = x y g ( x ) = ln ( x ). Hay un par de hechos más que necesitaremos saber para encontrar esta derivada.

• La derivada de x es 1. Esto proviene del hecho de que la derivada de x n es n x n -1 . Si miramos x como x 1 , tenemos que la derivada de x 1 es 1 * x 1 – 1 = x 0 = 1.
• La derivada de ln ( x ) es 1 / x . Esto se puede observar al observar la pendiente de la recta tangente en varios valores de x porque la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente en ese punto. Observe la siguiente tabla con las pendientes dadas de la recta tangente de ln ( x ) en varios valores de x :

Si continuamos con este patrón, vemos que la pendiente de la recta tangente de ln ( x ) a un valor dado de x es 1 / x , por lo que la derivada de ln ( x ) es 1 / x .

Estos dos hechos, junto con la regla del producto, nos permitirán encontrar la derivada de x ln ( x ).

Como dijimos, x ln ( x ) es el producto de f ( x ) = x y g ( x ) = ln ( x ). Para usar la regla del producto para encontrar la derivada, necesitamos saber f ‘( x ) y g ‘ ( x ).

De los hechos, la derivada de x es 1, entonces f ‘( x ) = 1.

También de los hechos, la derivada de ln ( x ) es 1 / x , entonces g ‘( x ) = 1 / x .

Ahora simplemente conectamos la regla del producto para las derivadas y simplificamos.

Vemos que la derivada de x ln ( x ) es ln ( x ) + 1.

Comprobación de su trabajo con integrales

Después de encontrar su derivada, es posible que desee tener una forma de saber con certeza que la encontró correctamente. Afortunadamente, tenemos una herramienta para verificar nuestro trabajo, ¡y esa herramienta son integrales! Las integrales son un tema que se estudia después de dominar las derivadas. Si aún no los ha estudiado, cuando lo haga, aprenderá que tienen una estrecha relación con las derivadas. De hecho, las integrales se denominan anti-derivadas y están relacionadas con las derivadas en el sentido de que si a es la derivada de b , entonces la integral de a es b + C , donde C es una constante.

Por ejemplo, los hechos establecen que 1 es la derivada de x , por lo que según la regla, debe darse el caso de que la integral de 1 sea x + C , donde C es una constante.

Esta relación entre integrales y derivadas nos permite usar una para verificar la otra. En nuestro caso, encontramos que la derivada de x ln ( x ) es ln ( x ) + 1, entonces por la regla, debería ser el caso que la integral de ln ( x ) + 1 es x ln ( x ) + C , donde C es una constante. Por lo tanto, para verificar nuestro trabajo, encontramos la integral de ln ( x ) + 1, y si es x ln ( x ) + C , entonces sabemos que hicimos nuestro trabajo correctamente.

Veamos todos los hechos que necesitamos para encontrar la integral de ln ( x ) + 1 para verificar nuestro trabajo. Esos hechos son los siguientes.

• La integral de una suma de funciones es la suma de las integrales de las funciones; esto se conoce como la regla de la suma de integrales .

• La integral de 1 es x + C 1 , donde C 1 es una constante.
• La integral de ln ( x ) es x ln ( x ) – x + C 2 , donde C 2 es una constante.

Esto es todo lo que necesitamos saber para encontrar la integral de ln ( x ) + 1.

Primero, usamos la regla de la suma ya que tomamos la integral de una suma.

Ahora, usamos nuestros otros dos hechos para reemplazar la integral de 1 y la integral de ln ( x ).

Por último, simplificamos.

Vemos que la integral de ln ( x ) + 1 es x ln ( x ) + C , donde C es una constante, por lo que esto satisface nuestra regla, y podemos estar seguros de que la derivada de x ln ( x ) es de hecho ln ( x ) + 1.

Resumen de la lección

Para encontrar la derivada de x ln ( x ), usamos la regla del producto para las derivadas . Esto establece que para tomar la derivada de un producto de funciones, multiplicamos la derivada de la primera función por la segunda función y la sumamos a la derivada de la segunda función multiplicada por la primera función. También aprendimos que podemos verificar nuestro trabajo usando integrales .

Rodrigo Ricardo Editor y fundador