Límites indefinidos: definición y ejemplos
Error de mensajes
Ingrese en su calculadora los siguientes problemas:
(a) 1/0
(b) √-1
Su calculadora debería haber devuelto el mensaje de error porque estos escenarios no están definidos. La parte (a) es un valor de x en la función f (x) = 1 / x donde no hay un valor de y finito . Cuanto más se acerca el valor de x a 0, el valor de y se aproxima al infinito negativo o positivo. El infinito al que se aproxima depende de la dirección en la que se mueva a lo largo del eje x . La parte (b) no está definida porque no hay ningún número que multiplicado por sí mismo da -1. También existen algunos límites en el cálculo que no están definidos. Veamos los tipos de límites que no están definidos.
Límites unilaterales
Los límites unilaterales son la evaluación de una función cuando x se acerca a un valor del lado izquierdo y del lado derecho de una función. Si hay diferentes valores de y cuando x se acerca desde los lados izquierdo y derecho, el límite no existe. Veamos la gráfica de una función donde no existe el límite unilateral. Este primer gráfico que aparece aquí muestra la función:
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El tipo de límite para este gráfico puede estar escrito formalmente en la fórmula que aparece aquí:
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Mirando hacia atrás en nuestro primer gráfico, vemos que a medida que trazamos la función desde la izquierda hacia x = 1 terminamos en f (x) igual a 1. Cuando nos acercamos a x = 1 desde la derecha, terminamos en un valor diferente para f (x) , que es 3. Dado que 1 no puede ser igual a 3, ¡este límite no está definido! Ahora veamos otro tipo de límite indefinido.
Oscilaciones infinitas
Algunas funciones trigonométricas comienzan a oscilar tan radicalmente entre dos valores de y cuando x se acerca a un valor específico que el límite no está definido. La gráfica de f (x) = cos (1 / x ) se muestra en esta segunda gráfica que aparece aquí:
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Podemos ver en nuestro segundo gráfico que cuando x se acerca a 0 desde cualquier lado, el gráfico se vuelve como una forma de acordeón comprimido que está oscilando de una manera extrema, ¡lo cual es un límite indefinido en cálculo! Esto se llama oscilador infinito . Vayamos hacia el tercer tipo de límite indefinido.
Intervalos de punto final
Los intervalos de los puntos finales son similares a los límites unilaterales porque nos acercamos a un valor de x desde una dirección específica. La diferencia es que solo podemos acercarnos a un valor x específico desde una dirección. Un ejemplo de este tipo de límite es una función de la posición de un objeto con respecto al tiempo. La aproximación al tiempo = 0 a lo largo del eje x sólo se puede realizar a partir de valores positivos de x . Nunca podríamos acercarnos a 0 a partir de valores x negativos porque la función de posición no existe en valores x negativos . ¡El tiempo nunca puede ser un valor negativo! El gráfico 3 muestra cómo no hay función en valores de tiempo negativos a lo largo del eje x .
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Tenemos un límite más indefinido que discutir.
Sin límites de valor finito
Si una función no se acerca a un valor finito desde ninguna dirección, el límite no está definido. Este cuarto gráfico que aparece aquí es una buena manera de ver qué significa una función que no alcanza un valor finito:
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A medida que los valores de x se acercan a 1 desde cualquier lado, el valor de y se acerca al infinito positivo. Dado que el infinito no es un valor finito, el límite de la función cuando x se acerca a 1 no está definido. Veamos ahora cómo determinar si un límite se acerca a un valor finito si no se proporciona un gráfico con un par de ejemplos.
Limite los problemas sin gráficos
Ejemplo 1
Veamos el problema en el que tenemos que determinar cuál es el valor del límite cuando x se acerca al infinito. Este primer ejemplo que aparece aquí muestra este límite:
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Lo que tenemos que hacer es imaginar enchufar un número para x justo debajo del infinito, lo que nos dará infinito en el numerador e infinito en el denominador. ¡El infinito dividido por el infinito es infinito! Hagamos otro ejemplo.
Ejemplo 2
Ahora, debemos determinar el límite expresado en el siguiente ejemplo que aparece aquí, que puede parecer un poco más complicado, ¡pero no se preocupe!
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Si introducimos -3 en x , obtenemos -1/0, ¡que no está definido! Sin duda, podemos factorizar el denominador dándonos
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lo que hace que los términos ( x +2) se cancelen dando:
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Al introducir -3 todavía obtenemos un límite indefinido porque 0 está en el denominador.
Resumen de la lección
Algunos límites en cálculo no están definidos porque la función no se acerca a un valor finito.
Los siguientes límites no están definidos:
- Los límites unilaterales son cuando la función tiene un valor diferente cuando se aborda desde los lados izquierdo y derecho de la función.
- Las funciones de oscilación infinita son donde la función oscila severamente cuando se acerca a un valor de x.
- Los intervalos de punto final son aquellos en los que no se puede abordar la función desde un lado porque la función no existe en ese lado.
- No se obtienen valores finitos porque la función se acerca al infinito desde cualquier dirección.
Cuando no se proporcionan gráficos, el valor x se aproxima debe ingresarse en la expresión de límite para determinar si el límite es válido.
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