Línea normal: definición y ecuación

¿Qué es una línea normal?

Estás sosteniendo un arco. Has tirado la cuerda hacia atrás y estás a punto de lanzar una flecha al blanco de la diana. Esta imagen ilustra una línea normal. El arco es la curva y la flecha es la línea normal en un punto de la curva. Las líneas normales están asociadas con el campo del cálculo.

Esta lección incluye la definición y cómo encontrar la ecuación de una línea normal. Debido a que la definición de una línea normal tiene muchos términos que pueden ser desconocidos, la lección comenzará con una lista de vocabulario de estos términos.

Vocabulario

Cubramos algunos de los términos de vocabulario básico que debemos tener en cuenta para esto:

• Una línea tangente es una línea que se cruza con una curva en un solo punto
• Una pendiente puede ser intercambiable con derivada; es cuánto cambia una función en un punto determinado
• Una derivada , a la inversa, puede ser intercambiable con pendiente; es un proceso en cálculo que le permite a uno encontrar la pendiente de una función
• Un conjunto de líneas que son perpendiculares es cuando dos líneas que se cruzan forman cuatro ángulos rectos: estos cuatro ángulos rectos se dice que son perpendiculares
• Los recíprocos opuestos son cuando dos números son recíprocos opuestos entre sí si tienen signos diferentes y el numerador y el denominador se han cambiado: por ejemplo, -2/3 y 3/2 son recíprocos opuestos
• La forma de intersección de la pendiente es la ecuación de una línea, y siempre se puede escribir en la forma de y = mx + b donde m es la pendiente, b es la intersección en y, y ( x, y ) son cualquier punto en el línea

Definición de una línea normal

Una línea normal a un punto ( x , y ) en una curva es la línea que pasa por el punto ( x , y ) y es perpendicular a la línea tangente. Dado que la recta normal y la recta tangente son perpendiculares, tendrán pendientes recíprocas opuestas entre sí. Para encontrar la pendiente de la recta tangente en el punto ( x , y ), calcula la derivada de la función en ese punto.

Ecuación para una línea normal

Para encontrar la ecuación de cualquier línea, necesita conocer la pendiente de la línea y un punto en la línea. Por definición, la pendiente de la recta normal es el recíproco opuesto de la pendiente de la recta tangente. La pendiente de la recta tangente es la derivada de la curva (función) en ese punto.

Por ejemplo, encuentre la ecuación de la recta normal para la función f (x) = -3 x ^ 2 + 2 x + 6 en el punto x = 1.

• Paso uno: Encuentra la pendiente de la recta tangente tomando la derivada de la función. La derivada de f (x) es -6 x + 2, entonces en el punto x = 1, -6 (1) + 2 = -4. La pendiente de la recta tangente es -4.
• Paso dos: Encuentra la pendiente de la recta normal. El recíproco opuesto de -4 es 1/4 positivo.
• Paso tres: Encuentra un punto en la curva. Enchufe x = 1 en la función original. -3 (1) ^ 2 + 2 (1) + 6 = 5. El punto (1,5) es un punto en la curva.
• Paso cuatro: usando la pendiente de la línea normal y un punto en la curva, encuentre la ecuación. y = mx + b es la ecuación básica de una línea, donde ( x , y ) son un punto y m es la pendiente. Sustituyendo los valores de arriba en la ecuación, obtienes 5 = 1/4 (1) + b . Resolver para b da b = 19/4. Nuestra ecuación para la recta normal es:

y = 1/4 x + 19/4

Resumen de la lección

Dediquemos unos minutos a repasar lo que hemos aprendido en esta lección sobre las líneas normales. En el área de cálculo, una línea normal es la línea que toca una curva en un punto y es perpendicular a la línea tangente en el mismo punto. Para encontrar la ecuación de la recta normal, tome la derivada de la recta tangente en el punto de la curva. La pendiente de la recta normal será el recíproco opuesto de la derivada de la recta tangente.

Aprendimos que los cuatro pasos para resolver la ecuación de una recta normal son los siguientes:

• Paso uno: Encuentra la pendiente de la recta tangente tomando la derivada de la función
• Paso dos: encuentra la pendiente de la recta normal
• Paso tres: encuentra un punto en la curva
• Paso cuatro: usando la pendiente de la línea normal y un punto en la curva, encuentre la ecuación

Con estos pasos en mente, debería poder encontrar la ecuación de una línea normal con facilidad.