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Paraboloides elípticos frente a hiperbólicos: definiciones y ecuaciones

Publicado el 24 noviembre, 2020

El ‘Oid’ en un paraboloide


Aster-oid: en forma de estrella.
Imagen de un asteroide.

En la palabra asteroide, ‘oid’ significa como , junto con ‘aster’ o estrella, y se vuelve como una estrella. De manera similar, un paraboloide es un objeto parecido a una parábola, que se explicará en la siguiente sección. En esta lección exploramos los dos tipos de paraboloides: el paraboloide elíptico y el paraboloide hiperbólico .

Observando los paraboloides elípticos

Tenemos dos palabras aquí: elipse y parábola . La elipse es un círculo que se ha estirado en una dirección. La parábola es la curva que se parece a la orientación particular de la letra U mayúscula.

Escribiendo la ecuación para una elipse, ves

Ecuación de una elipse.

A diferencia de un círculo que tiene un radio, una elipse tiene dos: la ‘a’ y la ‘b’ en la ecuación. Primero, examinaremos cómo pasar de la ecuación de la elipse a la ecuación de un paraboloide elíptico. Compruebe lo siguiente:

Ecuación de un paraboloide elíptico.

Es la misma ecuación que la elipse, excepto que el 1 del lado derecho ahora es una z . Estamos en tres dimensiones. Además de x y y tenemos un z . Por un momento, observe el lado izquierdo de la ecuación. ¿Ve solo un resultado positivo incluso para x y / o y negativos ? Una opción es permitir que la curva se abra en la dirección z negativa . Hacemos esto escribiendo – z en el lado derecho. Aquí está la gráfica del paraboloide elíptico con + z . Tenga en cuenta que la cifra se ha cortado en algún valor positivo de z . En realidad, el paraboloide elíptico continúa hasta el infinito en eldirección z .


Paraboloide elíptico.
Parcela de un paraboloide elíptico.

‘Paraboloide’ significa como una parábola. Echemos un vistazo al paraboloide elíptico con mucho cuidado. Imagina que estás en el punto de la flecha en el eje x y estás mirando hacia el origen a lo largo del eje x . El origen es donde se cruzan los tres ejes. ¿Ves una parábola? Otra estrategia es visualizar un “corte” del paraboloide elíptico. El corte es paralelo al plano yz . El corte corta el eje x en algún punto. ¿Es la siguiente parábola lo que ves?


Mirando en el plano yz.
Ver a lo largo del eje x.

Sentado en la punta de flecha de la Y eje x y mirando hacia el origen nos da otro punto de vista. El corte paralelo al plano xz pasará por el eje y en algún punto. Desde este punto de vista, el eje x aumenta de derecha a izquierda, pero aún hay otra parábola desde esta vista:


Mirando en el plano xz.
Ver a lo largo del eje y.

¿Notaste que esta segunda parábola es más amplia? ¿Tiene esto sentido a partir del gráfico 3D del paraboloide elíptico?

Imagínese estar en el espacio profundo y mirar la órbita de un asteroide. Veríamos una elipse. Lo mismo sucede cuando nos movemos hacia la parte superior del eje z y miramos hacia abajo desde arriba. Veremos una elipse en el plano xy . La y positiva está a la derecha y la x positiva hacia abajo.


Mirando en el plano xy.
Ver a lo largo del eje z.

Al igual que el asteroide que arde tan brillante como una estrella cuando entra en la atmósfera, ¡te estás convirtiendo en la ‘estrella de rock’ de los paraboloides! Hay un tipo de paraboloide más para observar, el paraboloide hiperbólico.

Observando los paraboloides hiperbólicos

La ecuación de la hipérbola se parece mucho a la de una elipse, excepto que hay un signo menos en lugar del más.

Ecuación de una hipérbola.

Este tipo de hipérbola tendrá una apertura a derecha e izquierda. Para obtener la hipérbola para abrir hacia arriba y abajo, que invertir el orden de x e y . Al igual que antes, para obtener la ecuación del paraboloide tridimensional, reemplazamos el 1 del lado derecho con una z . Sustitución de z con – z es una opción aunque tiene el mismo efecto que invirtiendo el orden de las x y Y términos.

Ecuación de un paraboloide hiperbólico.

Aquí hay una trama para el paraboloide hiperbólico, teniendo en cuenta que la trama en realidad va al infinito.


Paraboloide hiperbólico.
Parcela de un paraboloide hiperbólico.

Una vez más buscamos parábolas. Primero, miramos el eje x hacia el plano yz . Aparece una parábola:


Mirando en el plano yz.
Ver a lo largo del eje x.

La otra parábola está en el plano xz cuando tomamos un ‘corte’ paralelo a este plano y cortamos el eje y :


Mirando en el plano xz.
Ver a lo largo del eje y.

¿Notaste cómo esta parábola está en la dirección opuesta? ¿Tiene esto sentido cuando miras el diagrama 3D del paraboloide hiperbólico?

La última vista es desde arriba. En un plano paralelo al plano xy vemos una hipérbola:


Mirando en el plano xy.
Ver a lo largo del eje z.

¡Y al igual que un asteroide, la vista de estos paraboloides puede ser bastante espectacular!

Resumen de la lección

Los paraboloides son figuras tridimensionales que se asemejan a parábolas. En esta lección hemos explorado los dos tipos de paraboloides: el paraboloide elíptico y el paraboloide hiperbólico .

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