Postulado y teorema de semejanza AA

Triángulos similares

Se dice que dos triángulos son similares si tienen la misma forma. Aunque un triángulo puede ser más grande que otro, se consideran triángulos similares siempre que tengan la misma forma. En relación con esta definición, los triángulos similares tienen las siguientes propiedades.

1.) Sus ángulos correspondientes son iguales en medida.

2.) Sus lados correspondientes son proporcionales.

Triángulos similares

Para comprender mejor estas propiedades, suponga que mostramos que el triángulo ABC es similar al triángulo DEF. Para hacer esto, simplemente necesitamos demostrar que satisfacen una de las dos propiedades.

1.) Los ángulos correspondientes son iguales en medida. Es decir, ángulo A = ángulo D, ángulo B = ángulo E y ángulo C = ángulo F.

2.) Los lados correspondientes son proporcionales. Es decir, AB / DE = BC / EF = AC / DF.

Los ángulos correspondientes son iguales en medida porque:

• Ángulo A = ángulo D = 104 grados
• Ángulo B = ángulo E = 29 grados
• Ángulo C = ángulo F = 47 grados

Los lados correspondientes de los triángulos también son proporcionales:

• AB / DE = 6/12 = 1/2
• BC / EF = 8/16 = 1/2
• AC / DF = 4/8 = 1/2

Para mostrar que dos triángulos son similares, solo tenemos que demostrar que una de las dos propiedades es verdadera. El postulado de similitud AA (ángulo-ángulo) simplifica aún más el proceso de demostrar que dos triángulos son similares.

Postulado y teorema de semejanza AA

El postulado y teorema de similitud AA hace que sea aún más fácil probar que dos triángulos son similares. En aras de la simplicidad, nos referiremos a él como el postulado de similitud AA. El postulado establece que dos triángulos son similares si tienen dos ángulos correspondientes que son congruentes o iguales en medida.

Usando este postulado, ya no tenemos que demostrar que los tres ángulos correspondientes de dos triángulos son iguales para demostrar que son similares. Solo necesitamos mostrar que este es el caso de dos de los ángulos correspondientes. Por ejemplo, considere los siguientes dos triángulos:

Diagrama uno

Como podemos ver, el ángulo K y el ángulo H tienen la misma medida y el ángulo M y el ángulo J tienen la misma medida. Dado que dos de los ángulos correspondientes son iguales en medida, sabemos que los dos triángulos son similares. Usando el postulado AA, no necesitamos encontrar la medida del tercer ángulo en cada triángulo para saber que estos dos triángulos son similares.

¿Por qué es verdadero el postulado de similitud de AA?

Por definición, dos triángulos son similares si sus tres ángulos correspondientes son iguales en medida, entonces, ¿por qué podemos asumir que dos triángulos son similares si solo dos de los ángulos correspondientes son iguales en medida? En otras palabras, ¿por qué es cierto el postulado de similitud de AA?

Para responder a esto, consideremos dos triángulos: RST y LMN. Para estos dos triángulos, asumiremos el ángulo R = ángulo L = x grados y el ángulo S = ángulo M = y grados.

Diagrama dos

Las medidas de los ángulos de cualquier triángulo suman 180 grados. Por tanto, sabemos que:

• Ángulo R + ángulo S + ángulo T = x + y + ángulo T = 180 grados
• Ángulo L + ángulo M + ángulo N = x + y + ángulo N = 180 grados

Restando x e y de cada parte de las ecuaciones anteriores, obtenemos los siguientes resultados:

• Ángulo T = (180 – x – y ) grados
• Ángulo N = (180 – x – y ) grados

El ángulo T y el ángulo N tienen la misma medida. Por lo tanto, cuando sabemos que si dos triángulos tienen dos conjuntos de ángulos correspondientes iguales, entonces el tercer conjunto de ángulos también debe ser igual. En otras palabras, los tres ángulos correspondientes tienen la misma medida, por lo que los dos triángulos son similares, de acuerdo con la definición de triángulos semejantes. Como solo necesitamos saber que los dos ángulos correspondientes tienen medidas iguales para que dos triángulos sean similares, el postulado de similitud AA es cierto.

¿Utilizando el postulado de semejanza AA?

Considere la siguiente figura en el diagrama tres:

Diagrama tres

Aquí tenemos otro triángulo. Suponga que la línea en el medio del triángulo divide el ángulo A en dos partes iguales. Por tanto, el ángulo BAD es igual al ángulo CAD. Tenga en cuenta que el ángulo ADC y el ángulo ADB son ángulos rectos, lo que significa que ambos tienen 90 grados. Dado que el triángulo ABD y el triángulo ACD tienen dos ángulos correspondientes de igual medida, son triángulos similares.

Veamos otro ejemplo:

Diagrama cuatro

Según el postulado de similitud AA , los triángulos QRS y TRV son similares. Observe que el ángulo Q y el ángulo T son ángulos rectos, lo que los convierte en un conjunto de ángulos correspondientes de igual medida. Los otros dos ángulos iguales son el ángulo QRS y el ángulo TRV. Esto es lo que sucede cuando dos líneas se cruzan: sus ángulos verticales son iguales.

En este ejemplo, también podemos usar el postulado de similitud AA para probar que los triángulos son similares porque tienen dos pares de ángulos correspondientes.

Resumen de la lección

Dos triángulos son similares si tienen tres ángulos correspondientes de igual medida. El postulado y teorema de similitud AA hace que mostrar que dos triángulos son similares sea un poco más fácil al permitirnos mostrar que solo dos de sus ángulos correspondientes son iguales.

En esta lección, también aprendimos cómo usar la suma y la resta para demostrar que dos triángulos son similares, así como también por qué el postulado de similitud AA es verdadero.