Usando el teorema del número crítico

Maximizar el área

Un granjero necesita construir un nuevo corral para sus cabras, pollos y cerdos. Para ahorrar dinero, decide cercar en un área rectangular y dividir la región con dos piezas adicionales de cerca como se muestra.

Bolígrafo rectangular para animales

Si el agricultor tiene 3600 yardas de cerca disponible, ¿qué dimensiones del corral encierran el área más grande?

Para solucionar este problema, etiquetemos un lado del rectángulo grande x como se muestra. El agricultor usará la misma longitud de x en el lado opuesto del rectángulo y para las dos piezas adicionales que lo dividen en regiones, por lo que le quedan 3600 – 4 x yardas de cerca para los dos lados horizontales en el diagrama. Por lo tanto, cada lado horizontal tiene una longitud (3600 – 4 x ) / 2.

Entonces, el área está dada por x (3600 – 4 x ) / 2, o 1800 x – 2 x 2 . En este punto, solo necesitamos encontrar el «mejor» valor de x para obtener un área lo más grande posible. Pero donde empezamos?

Teorema del número crítico

El teorema del número crítico nos da una forma de ubicar los valores máximo y mínimo de una función. Más precisamente, establece que si una función f ( x ) tiene un extremo relativo (máximo o mínimo) en x = c , entonces c es un número crítico de f ( x ) oc es un punto final del dominio de la función.

Para que esto funcione, el número crítico c debe cumplir los siguientes requisitos:

• La primera derivada de la función f ‘( c ) es 0 o no está definida.
• c está en el dominio de f ( x ): esto significa que c es un valor de x para el cual se define la función f ( c ).

¿Cómo nos ayuda esto? Este teorema básicamente dice que solo necesitamos mirar los números críticos de una función y los puntos finales de su dominio para encontrar sus extremos. Muchas funciones no tienen dominios con puntos finales, por lo que el enfoque real está en los números críticos. Para encontrar los valores de c , solo necesitamos enfocarnos en los puntos donde la derivada f ‘( c ) es 0 o no está definida.

Volveremos a nuestro granjero y su problema de la pluma rectangular, pero primero perfeccionemos nuestras nuevas habilidades con un par de ejemplos.

Ejemplo 1

Encuentre todos los extremos locales para la función f ( x ) = x 4 – 18 x 2 – 4.

Observe que el dominio de f ( x ) son todos números reales, por lo que no tiene puntos finales. Encontremos los números críticos de f ( x ). En primer lugar, encontrar la derivada: f ‘( x ) = 4 x 3 – 36 x . Estableciendo esto igual a 0, resolvemos:

• 4 x 3 – 36 x = 0
• 4 x ( x 2 – 9) = 0
• 4 x ( x + 3) ( x – 3) = 0
• x = -3, 0, 3

Ahora usamos la prueba de la primera derivada para clasificar los números críticos como máximos o mínimos locales:

• Dado que f ‘( x ) cambia de negativo a positivo en x = -3, f tiene un mínimo local en -3.
• Dado que f ‘( x ) cambia de positivo a negativo en x = 0, f tiene un máximo local en 0.
• Dado que f ‘( x ) cambia de negativo a positivo en x = 3, f tiene un mínimo local en 3.

Por último, pero no menos importante, debemos conectar cada número crítico (-3, 0 y 3) en f para encontrar el máximo y mínimo correspondientes:

• f (-3) = (-3) 4 – 18 (-3) 2 – 4 = 81 – 162 – 4 = -85
• f (0) = (0) 4 – 18 (0) 2 – 4 = -4
• f (3) = (3) 4 – 18 (3) 2 – 4 = 81 – 162 – 4 = -85

Por lo tanto, esta función tiene un máximo local de -4 (en 0) y un mínimo local de -85 (en -3 y 3)

Ejemplo 2

Encuentre todos los números críticos para la función f ( x ) = 3 x / ln ( x ).

El dominio de f ( x ) es (0, 1) ∪ (1, ∞), lo que significa que f ( x ) no está definido en x = 1 (ya que el denominador sería 0). Para encontrar los números críticos de esta función, encontramos f ‘( x ) usando la regla del cociente:

f ‘( x ) = (ln ( x ) * 3 – 3 x * 1 / x ) / (ln ( x )) 2 = (3ln ( x ) – 3) / (ln ( x )) 2 .

f ‘( x ) no está definido donde la parte inferior de la fracción es 0:

• (ln ( x )) 2 = 0
• ln ( x ) = 0
• x = 1

Pero como 1 no está en el dominio de f ( x ), 1 no puede ser un número crítico de f ( x ).

Y f ‘( x ) es 0 donde la parte superior es 0:

• 3ln ( x ) – 3 = 0
• 3ln ( x ) = 3
• ln ( x ) = 1
• x = e

Entonces f ( x ) tiene un número crítico: e . Usando la prueba de la primera derivada, podemos decidir si esto da un máximo local o un mínimo local:

• f ‘( x ) cambia de negativo a positivo en x = e , por lo que f ( x ) tiene un mínimo local en e .

Finalmente, encontramos f ( e ) = 3 e / ln ( e ) = 3 e / 1 = 3 e . Entonces, f ( x ) tiene un mínimo local de 3 e (en e ) y ningún máximo local.

Maximizando el área de nuevo

¿Recuerda al granjero que necesitaba maximizar el área del corral que estaba construyendo para sus animales? Usando el teorema del número crítico, podemos encontrar las dimensiones de la pluma que maximizarán el área.

Encontramos anteriormente que el área está dada por A ( x ) = 1800 x – 2 x 2 . Encontremos la derivada: A ‘( x ) = 1800 – 4 x . Entonces, el único número crítico es donde la derivada es 0:

• 1800 – 4 x = 0
• 1800 = 4 x
• 450 = x

Con suerte, esta es la respuesta que queremos, pero debemos usar la prueba de la primera derivada para verificar. Dado que A ‘( x ) cambia de positivo a negativo en x = 450, el área se maximiza cuando x = 450. ¡Bien!

Recuerda que x es la longitud de un lado de la pluma rectangular. El agricultor probablemente también necesite saber la longitud del otro lado. Recuerda que el lado más largo tenía una longitud (3600 – 4 x ) / 2, así que cuando x es 450, obtenemos (3600 – 4 (450)) / 2 = (3600 – 1800) / 2 = 1800/2 = 900. Por lo tanto , el corral del granjero debe tener 450 yardas por 900 yardas.

Resumen de la lección

Usamos el teorema del número crítico para localizar los valores máximo y mínimo de una función. Para hacer esto, primero encontramos los números críticos y cualquier punto final del dominio de la función, luego usamos la prueba de la primera derivada para clasificar esos números críticos como ubicaciones de máximos o mínimos. Finalmente, si el problema lo pide, conectamos los números críticos en la función para encontrar los máximos y / o mínimos.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador