Comparación de series
En esta lección, veremos cómo podemos comparar series para ayudarnos a determinar si una serie es convergente o divergente. Definimos una serie como la suma de una secuencia de términos. Usualmente usamos la notación de suma para mostrar una serie.
Cuando trabajamos con series, si sabemos si otra serie es convergente o divergente, entonces al comparar esa serie con la que tenemos que encontrar si cumple con ciertos criterios, podemos determinar fácil y rápidamente si nuestra serie es convergente o divergente.
En esta lección sobre pruebas de convergencia y divergencia, los tipos de serie con los que trabajaremos son los infinitos. Se trata de series que duran para siempre, como el ejemplo que acabamos de ver que va de n = 1 al infinito. Cuando una serie infinita es convergente , significa que la serie alcanza un valor finito. Cuando la serie infinita es divergente , significa que la serie no alcanza un valor finito. Las series divergentes generalmente divergen hacia infinito negativo o infinito positivo. Esto significa que a medida que nuestro valor de n aumenta, la serie crece hacia el infinito positivo o hacia el infinito negativo.
Prueba de convergencia
Para probar la convergencia al comparar series, usamos esta regla:
- Para dos series, a sub n y b sub n , donde todos los términos son mayores o iguales a 0 y todos los términos de un sub n son menores o iguales a todos los términos correspondientes de b sub n , entonces la serie a sub n es convergente si la serie b sub n es convergente.
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Lo que esto dice es que si tenemos dos series donde todos los términos son positivos y donde los términos de una serie son siempre más pequeños que el otro, entonces la serie más pequeña convergerá si la más grande es convergente. También tenga en cuenta que ambas series deben comenzar y terminar con los mismos valores. Si una serie va de n = 1 a infinito, la otra serie también debe hacerlo.
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Veamos cómo podemos usar esta regla.
Dada esta serie, determine si converge:
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Esta serie convergerá si podemos encontrar otra serie que converja cuyos términos sean todos más grandes que nuestros términos. Bueno, pensando en todas las series que conocemos, pensamos en esta serie:
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Esta serie tiene términos que son más grandes que los términos correspondientes de nuestra serie. Sabemos que esta serie en particular converge. Entonces, dado que esta serie es más grande que nuestra serie, nuestra serie también converge porque esta serie más grande converge.
Prueba de divergencia
Ahora bien, la prueba de divergencia es muy similar a la de convergencia:
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- Para dos series, a sub n y b sub n , donde todos los términos son mayores o iguales a 0 y todos los términos de un sub n son menores o iguales a todos los términos correspondientes de b sub n , entonces si la serie a sub n es divergente, entonces la serie b sub n también será divergente.
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Lo que esto dice es que si la serie más pequeña diverge, la serie más grande también lo hará.
Echemos un vistazo a esta prueba en acción.
Determine si esta serie diverge:
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Esta serie divergerá si podemos encontrar otra serie que sea más pequeña y también divergente. Mirando esta serie y mirando hacia atrás en las otras series que hemos estudiado, recordamos que la serie 1 / n tiene términos que son todos más pequeños que nuestra serie. ¿Esta serie diverge? Si es así, nuestra serie también diverge.
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Por lo que sabemos de esta serie, sabemos que diverge. Este es en realidad un armónico que diverge como una serie. Entonces, debido a que esta serie más pequeña diverge, nuestra serie también diverge.
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Ejemplo
Veamos un ejemplo más:
¿Esta serie converge o diverge?
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Mirando esta serie, vemos que el exponente en el numerador es mayor que el exponente en el denominador. Entonces, esto podría significar que esta serie diverge. Para estar seguro, necesitamos encontrar otra serie más pequeña que sea divergente. Entonces, si esta serie más pequeña diverge, nuestra serie también lo hará. Una serie que es más pequeña que nuestra serie es la serie n ^ 3 / n ^ 2. Al no tener el -10, la nueva serie es más pequeña.
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Esta serie se simplifica a n , que diverge. Dado que esta serie es más pequeña y divergente, nuestra serie más grande también divergerá.
Resumen de la lección
Repasemos lo que hemos aprendido. Una serie es la suma de una secuencia de términos. Una serie infinita es aquella que llega hasta el infinito. Cuando una serie infinita es convergente , significa que la serie alcanza un valor finito. Cuando la serie infinita es divergente , significa que la serie no alcanza un valor finito.
Podemos usar la prueba de comparación para probar si una serie en particular es convergente o divergente:
- Para dos series, a sub n y b sub n , donde todos los términos son mayores o iguales a 0 y todos los términos de un sub n son menores o iguales a todos los términos correspondientes de b sub n , entonces la serie a sub n es convergente si la serie b sub n es convergente.
- Para dos series, a sub n y b sub n , donde todos los términos son mayores o iguales a 0 y todos los términos de un sub n son menores o iguales a todos los términos correspondientes de b sub n , entonces si la serie a sub n es divergente, entonces la serie b sub n también será divergente.
Resumiendo lo anterior, podemos decir: si una serie mayor converge, también convergerá una serie menor; y si una serie más pequeña diverge, también divergerá una serie más grande.
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