El triángulo de Sierpinski
Suponga que el departamento de matemáticas de la universidad local está renovando sus oficinas y seleccionan un diseño especial para las baldosas del piso de cada oficina, que se muestra en esta imagen:
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¡Es un diseño realmente genial! Tan limpio, de hecho, que en matemáticas tiene su propio nombre especial, el Triángulo de Sierpinski. El triángulo de Sierpinski es una construcción geométrica extremadamente interesante que se puede crear siguiendo los siguientes pasos:
- Comience con un triángulo equilátero, ΔABC, y ubique los puntos medios de cada uno de los lados del triángulo.
- Conecte cada uno de los puntos medios con un segmento de línea y elimine el triángulo que acaba de crear.
- Ahora tiene tres triángulos equiláteros dentro del triángulo equilátero original. Repite los pasos 1 y 2 para cada uno de estos triángulos. Este proceso puede continuarse indefinidamente o hasta que decida detenerlo.
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¡Eh! ¡Para una figura tan ordenada, el Triángulo de Sierpinski es bastante simple de crear! ¡No dejes que eso te engañe! Hay algunos patrones muy interesantes en esta construcción aparentemente simple.
Patrones en el triángulo de Sierpinski
Hay muchos patrones dentro del Triángulo de Sierpinski. Para empezar, la forma en que construimos el triángulo crea muchos más triángulos, todos similares, dentro del triángulo original. Los triángulos similares son triángulos que tienen exactamente la misma forma y las mismas medidas angulares entre sí; su única diferencia posible es el tamaño.
Cada vez que creamos estos triángulos similares dentro de un triángulo anterior, los triángulos recién creados no solo son similares al triángulo original, sino que cada triángulo creado tiene un perímetro que es igual a la mitad del perímetro del triángulo anterior y tiene un área igual a 1/4 del área del triángulo anterior.
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Otro patrón interesante es que la construcción de Sierpinski crea un fractal. Un fractal es una construcción geométrica creada al realizar repetidamente una operación en un objeto o forma, una y otra vez. En este caso, el procedimiento repetido es eliminar el triángulo creado al conectar los puntos medios de los lados del triángulo anterior.
Además, el triángulo de Sierpinski tiene una forma similar a sí misma. En términos técnicos, una forma auto-similar es una forma que es similar a partes más pequeñas de sí misma. En términos del triángulo de Sierpinski, el triángulo original es similar a todos los triángulos creados en su construcción, por lo que es auto-similar.
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Todo esto conduce a una definición más precisa del Triángulo de Sierpinski: es un fractal auto-similar que resulta de eliminar el triángulo que conecta los tres puntos medios de los lados de un triángulo equilátero y continuar este proceso para los triángulos equiláteros resultantes dentro de ese triángulo.
Por último, aquí hay un patrón que cualquier persona familiarizada con el triángulo de Pascal apreciará. El Triángulo de Pascal es otro concepto matemático fascinante, una matriz triangular de números, y también contiene una gran cantidad de patrones diferentes en su interior. Resulta que si coloreamos todos los números impares de un color en el triángulo de Pascal y los números pares de otro color, ¡el resultado se parecerá al triángulo de Sierpinski!
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Todos estos elegantes patrones pueden llevarlo a preguntarse un poco sobre la historia del Triángulo de Sierpinski. ¿Quién lo descubrió? ¿De dónde vino? ¡Vamos a explorar!
Historia del triángulo de Sierpinski
El Triángulo de Sierpinski se remonta al siglo XIII. Aunque el patrón no se llamaba formalmente Triángulo de Sierpinski en ese momento, apareció en la arquitectura en diferentes lugares. Muchos de esos lugares estaban en Italia e incluyen los Mosaicos Cosmati en la Basílica de Santa Maria Maggiore.
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Como podemos ver, el patrón del Triángulo de Sierpinski se usó mucho antes de que fuera nombrado oficialmente. Su descubrimiento oficial no ocurrió hasta 1915, cuando el matemático polaco Waclaw Sierpinski describió formalmente el triángulo, su construcción y sus propiedades. Debido a que a Sierpinski se le atribuye el descubrimiento formal del Triángulo de Sierpinski, esta construcción lleva su nombre.
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Resumen de la lección
El Triángulo de Sierpinski es una construcción geométrica extremadamente interesante que fue descubierta formalmente por Waclaw Sierpinski en 1915. Este triángulo es un fractal auto-similar que se puede crear siguiendo los siguientes pasos:
- Comience con un triángulo equilátero, ΔABC, y ubique los puntos medios de cada uno de los lados del triángulo.
- Conecte cada uno de los puntos medios con un segmento de línea y elimine el triángulo que acaba de crear.
- Ahora tiene tres triángulos equiláteros dentro del triángulo equilátero original. Repite los pasos 1 y 2 para cada uno de estos triángulos. Este proceso puede continuarse indefinidamente o hasta que decida detenerlo.
Hay muchos patrones dentro del Triángulo de Sierpinski, como triángulos similares y auto-semejanza, que resultan del proceso de construcción. El triángulo de Sierpinski es extremadamente común en los diseños actuales, así como en la arquitectura que se remonta al siglo XIII.
Con una apariencia tan hermosa, una construcción simple, una historia rica y patrones intrigantes en su interior, es fácil ver por qué encontramos el Triángulo de Sierpinski tan interesante y ¡continuamos investigando y trabajando con él hoy!
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