Resolver desigualdades racionales

Desigualdades racionales

Suponga que acaba de empezar a fabricar bicicletas que va a vender. Su beneficio proyectado se puede representar mediante la siguiente función:

En esta función, x es la cantidad de bicicletas que vende. Obviamente, desea ganar dinero, por lo que desea saber cuántas unidades tendrá que vender para que su beneficio sea mayor que cero. En otras palabras, desea resolver la siguiente desigualdad:

Esta es una desigualdad racional. Una desigualdad racional es una desigualdad que contiene una expresión racional, donde una expresión racional es una razón de dos polinomios. Es decir, una expresión racional tiene la forma R ( x ) / Q ( x ), donde R ( x ) y Q ( x ) son polinomios y Q ( x ) no es cero. La forma general de una desigualdad racional tiene una expresión racional en el lado izquierdo de la desigualdad y un 0 en el lado derecho de la desigualdad.

Para resolver la desigualdad y ver cuántas bicicletas debe vender para obtener ganancias, puede tener la tentación de multiplicar ambos lados de la desigualdad por x para deshacerse del denominador, ¡pero resista esa tentación!

Cuando se trata de desigualdades, si multiplicamos ambos lados por un número negativo, debemos cambiar la dirección del símbolo de desigualdad. Dado que el denominador contiene una variable, no sabemos si será positiva o negativa, por lo que no sabemos si necesitamos cambiar la dirección del símbolo. Por lo tanto, en desigualdades racionales, no podemos eliminar los denominadores multiplicando ambos lados por una expresión que contenga una variable.

Entonces, ¿cómo resolvemos las desigualdades racionales?

Pasos para resolver

Para resolver una desigualdad racional, seguimos estos pasos:

1. Pon la desigualdad en forma general.
2. Iguala el numerador y el denominador a cero y resuelve. Los valores que obtiene se denominan valores críticos . Los valores críticos de una función son cuando la función no está definida o es igual a 0. Cuando el numerador es 0, la función es 0. Cuando el denominador es 0, la función no está definida.
3. Trace los valores críticos en una recta numérica, dividiendo la recta numérica en intervalos.
4. Tome un número de prueba de cada intervalo y colóquelo en la desigualdad original. Si hace un enunciado verdadero, entonces el intervalo del que proviene está en la solución. Si hace una declaración falsa, entonces el intervalo del que proviene no está en la solución.
5. Determine si los puntos finales de los intervalos en la solución deben incluirse en los intervalos.

Pongamos fin al suspenso de cuántas bicicletas debes vender para ganar algo de dinero tomando la desigualdad racional que representa tu ganancia usando estos pasos.

Lo primero que queremos hacer es ponerlo en forma general. ¡Buenas noticias! En este caso, esto se ha hecho por nosotros. Tenemos una expresión racional en el lado izquierdo de la desigualdad y un 0 en el lado derecho.

A continuación, queremos igualar el numerador y el denominador a 0 y resolver.

Esto nos da los valores críticos x = -30, x = 30 y x = 0. Grafiquemos estos en una recta numérica, dividiendo la recta numérica en intervalos.

Ahora busquemos los valores de prueba de cada intervalo. Podemos usar cualquier número que se encuentre en cada intervalo como valor de prueba. Por lo general, es una buena idea usar números con los que sea fácil trabajar. En este caso, usemos -40 del intervalo I, -1 del intervalo II, 1 del intervalo III y 40 del intervalo IV.

¡Nos estamos acercando! Ahora solo tenemos que insertar estos valores de prueba en la desigualdad original para ver si obtenemos una declaración verdadera o falsa para cada uno.

Vemos que los intervalos que hacen de nuestra desigualdad un enunciado verdadero son de -30 a 0 y de 30 a infinito.

Lo siguiente que debemos hacer es determinar si los puntos finales de estos intervalos deben incluirse en nuestra solución. La desigualdad es mayor que 0. Sabemos que si introducimos -30 o 30, entonces la expresión racional será cero, por lo que estos no deben incluirse en los intervalos. Del mismo modo, si sustituimos 0 por x , la expresión racional no está definida, ya que no podemos tener 0 en el denominador. Por tanto, 0 no debería incluirse en los intervalos.

Llegamos a una solución para nuestra desigualdad: la solución son todos los números reales x tales que -30 < x <0 ox > 30. También podemos escribir la solución usando notación de intervalo. La notación de intervalo es una forma de escribir un intervalo de números. En notación de intervalos, se escribe como un intervalo ( un , b ), es decir, todos los números entre un y b . Cuando no queremos incluir un punto final, usamos paréntesis, y cuando queremos incluir un punto final, usamos corchetes.

Ahora, cuando se trata de nuestro problema real, queremos saber cuántas bicicletas se deben vender para obtener ganancias. Dado que no puede vender un número negativo de bicicletas, podemos ignorar el intervalo (-30, 0). Esto nos dice que para obtener ganancias, necesita vender más de 30 bicicletas, ¡es mejor comenzar!

Resumen de la lección

Revisemos. Las desigualdades racionales son desigualdades que contienen una expresión racional. Para resolver desigualdades racionales, seguimos estos pasos:

1. Pon la desigualdad en forma general.
2. Iguala el numerador y el denominador a 0 y resuelve para obtener los valores críticos .
3. Trace los valores críticos en una recta numérica, dividiendo la recta numérica en intervalos.
4. Tome un número de prueba de cada intervalo y colóquelo en la desigualdad original. Si hace un enunciado verdadero, entonces el intervalo del que proviene está en la solución. Si hace una declaración falsa, entonces el intervalo del que proviene no está en la solución.
5. Determine si los puntos finales de los intervalos en la solución deben incluirse en los intervalos.

Este tipo de desigualdades pueden aparecer en muchas áreas diferentes, como finanzas, ingeniería y medicina. Por eso es útil saber trabajar con ellos y solucionarlos.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador