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Resolver ecuaciones cuarticas

Publicado el 23 noviembre, 2020

Ecuaciones cuarticas

Las funciones lineales como 2x-1 = 0 son fáciles de resolver usando operaciones inversas. Las ecuaciones cuadráticas como x 2 + 5x + 6 se pueden resolver usando la fórmula cuadrática y dividiéndola en factores lineales. Los polinomios de orden superior a dos se vuelven más difíciles de resolver. Las ecuaciones cuarticas son polinomios que tienen un grado de cuatro, lo que significa que el mayor exponente es un cuatro.

Comenzarías a resolver ecuaciones cuárticas poniéndolo igual a cero. Habrá cuatro soluciones complejas (reales e imaginarias), ya que tiene un grado de cuatro, para cada ecuación cuártica. No todas las ecuaciones cuárticas tendrán cuatro raíces reales. Podría tener 0, 1, 2, 3 o 4 raíces reales y raíces imaginarias que forman el total de cuatro. Esta lección le mostrará varios métodos posibles para resolver ecuaciones cuárticas.

Diferencia de cuadrados

Si la ecuación cuártica también es una diferencia de cuadrados; entonces se puede factorizar como se puede factorizar una diferencia de cuadrados. Una diferencia de cuadrados viene en forma de 2 -b 2 y factores como (a + b) (ab). Por ejemplo x 4 -81 = 0 sería factorizar como (x 2 9) (x 2 -9) = 0. El (x 2 -9) serán un factor de nuevo a (x-3) (x + 3). Ahora tenemos (x 2 +9) (x-3) (x + 3) = 0. Este cuartico tiene soluciones en x = -3 y 3. El factor (x 2 +9) nunca será igual a cero sobre los números reales, por lo que habrá dos soluciones complejas.

Cuadrados cuarticos

Cuando parecen cuadráticas

A veces, las ecuaciones cuarticas pueden verse como ecuaciones cuadráticas y tener tres términos. Si un cuartico tiene un término elevado a la cuarta potencia, un término elevado a la segunda potencia y una constante; puede sustituir x 2 con otra variable y luego tratarla como una cuadrática.

Las cuadráticas son polinomios que tienen un grado de dos y se pueden resolver con una variedad de métodos como factorizar, completar el cuadrado o usar la fórmula cuadrática.

Veamos este ejemplo:

6x 4 -35x 2 +50

Observe que tiene tres términos, una cuarta potencia, un cuadrado y una constante.

Reemplaza x 2 con la variable r.

Recuerde que esto significa r 2 = x 4

Entonces tenemos 6r 2 -35r + 50 = 0.

Esta cuadrática se resolverá factorizando para darnos (2r-5) (3r-10) = 0.

Nuestras soluciones serían r = 5/2 y 10/3.

Recuerda que r = x 2 .

Eso nos da x 2 = 5/2 y x 2 = 10/3.

Un paso más nos da x igual a la raíz cuadrada positiva y negativa de 5/2 y 10/3.

Las cuatro soluciones de este cuartico son números reales e irracionales.

QuarticQuadratics

Teorema de la raíz racional

El teorema de la raíz racional establece si un polinomio tiene una solución de raíz racional; esa raíz ocurrirá en x = p / q donde p es un factor del término constante yq es un factor del coeficiente principal. Por ejemplo 0 = 2x 4 -7x 3 -11x 2 -15x-25. El término constante es -25, el coeficiente principal es 2. Los factores de -25 son 1,5,25 positivos y negativos. Los factores de 2 son positivos y negativos 1, y 2. Las posibles raíces racionales de esta ecuación son positivas y negativas 25 / 2,25 / 1,5 / 1,5 / 2,1 / 1,1 / 2. Inserta todos estos números en la ecuación original. Los que son iguales a cero son las raíces o las soluciones. Esta ecuación tiene una solución en x = 5.

Calculadora gráfica

Las soluciones reales de las ecuaciones cuárticas se pueden encontrar con la ayuda de una calculadora gráfica. Si conecta su ecuación en su banco y = y luego presiona gráfico; las soluciones de estas ecuaciones son los puntos en los que la gráfica de la ecuación cruza el eje x. Al seleccionar el segundo botón de función seguido del botón calc, obtendrá un menú de opciones. Seleccione la opción cero y le dirá el punto en el que la gráfica y el eje x se cruzan. La calculadora gráfica solo le mostrará las soluciones racionales y hará una estimación de las soluciones irracionales. Las soluciones imaginarias no se mostrarán en una calculadora gráfica.

Resumen de la lección

Las ecuaciones cuarticas se pueden resolver usando una variedad de métodos. Algunos pueden resolverse usando la diferencia de factorización cuadrada. Algunos pueden hacerse para que parezcan cuadráticos y luego resolverse como un cuadrático. El teorema de la raíz racional mostrará dónde existirían las posibles raíces de una ecuación. La calculadora gráfica mostrará las soluciones reales de una ecuación cuártica.

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