Simplificación de expresiones con exponentes racionales

Expresiones con exponentes racionales

Los exponentes racionales siguen las propiedades de los exponentes, excepto que usan fracciones.

Repaso de las propiedades de los exponentes: debe memorizarlas. ¿Parece que no puede memorizarlos? ¿Has probado las flashcards? Funcionan fantástico, ¡e incluso puedes usarlos en cualquier lugar!

1. Producto de potencias : x a * x b = x ( a + b )
2. Potencia a una potencia : ( x a ) b = x ( a * b )
3. Cociente de potencias : ( x a ) / ( x b ) = x ( a – b )
4. Potencia de un producto : ( x y ) a = x a y a
5. Potencia de un cociente : ( x / y ) a = x a / y a
6. Exponente negativo : x (- a ) = 1 / x a
7. Exponente cero : x 0 = 1

Poniendo las reglas de los exponentes a trabajar con las propiedades de los exponentes …

Ejemplo 1

y (1/2) * y (1/3)

Para este, vamos a seguir el producto de poderes. Recuerde, cuando multiplicamos, sumamos sus exponentes.

1/2 + 1/3 = 5/6

Entonces, la respuesta será y (5/6) .

El ejemplo 2 usa la propiedad del cociente de potencias para encontrar la solución

Ejemplo # 2

Simplificar: x (3/5) / x (2/3)

Para este, usaremos el cociente de poderes. Recuerde, cuando dividimos, restamos sus exponentes. Entonces, vamos a tener:

x (3/5 – 2/3)

3/5 – 2/3 = -1/15

Entonces nuestra respuesta es x (-1/15) .

Ejemplo # 3

Simplificar: x (-2/7)

Para este, usaremos la propiedad de exponentes negativos. Recuerde, cuando tenemos un exponente negativo, le damos la vuelta. Si está en el numerador, lo cambiamos al denominador, que es en este caso.

Entonces, nuestra respuesta será 1 / ( x (2/7) ).

Ejemplo # 4

Simplificar: ( x (4/5) ) (3/4)

En este, tenemos poder a un poder. Vamos a tener ( x (4/5) ) (3/4) , así que vamos a multiplicar 4/5 * 3/4, que es 12/20. Necesitamos reducir nuestras fracciones cuando obtengamos nuestra respuesta final. 12/20 se reduce a 3/5.

Entonces nuestra respuesta será x (3/5) .

Después de reducir 12/20 en el ejemplo 4, la respuesta final es x ^ (3/5)

Ejemplo # 5

Poner reglas de exponentes múltiples para trabajar con propiedades de exponentes … Simplificar usando exponentes positivos. Siempre reduzca las fracciones a los términos más bajos.

Primero vamos a simplificar la potencia a potencia. Entonces ahora tendremos:

Escriba términos similares entre sí, si es necesario. Bueno, ya tenemos las p sobre las p y las q sobre las q . No es necesario simplificar las fracciones ahora. Vamos a ir directamente a simplificar el cociente de potencias. Recuerde, cuando dividimos, restamos sus exponentes. Entonces tenemos:

p (2/6 – 1/2) * q (6/3 – 1/2)

Eso nos da:

p (-1/6) * q (9/6)

A continuación, debemos reducir las fracciones porque casi hemos llegado a nuestra respuesta. Entonces tendremos:

p (-1/6) * q (3/2)

Queremos reescribirlos usando exponentes positivos. Recuerde, si es negativo en el numerador, cambia al denominador. Entonces nuestra respuesta final será:

q (3/2) / p (1/6)

Ejemplo # 6

La solución del ejemplo 6 después de aplicar la propiedad del cociente de potencias

Simplifica usando exponentes positivos. Siempre reduzca las fracciones a los términos más bajos. Vamos a tener:

Vamos a simplificar el poder a un poder. Entonces tendremos:

Recuerde, potencia a una potencia significa multiplicar los exponentes. A continuación, escribamos términos semejantes entre sí. Ya tenemos 2 3 sobre 8 2 y m (6/3) sobre m (2/6) . Pasemos al siguiente paso. No es necesario simplificar las fracciones todavía, así que vamos a simplificar el cociente de potencias. Recuerde, cuando dividimos, restamos. Entonces ahora vamos a tener:

8/64 * m (6/3 – 2/6)

Bueno, 8/64 es 1/8. m al 6/3 – 2/6 es m al 10/6. Entonces resulta que nuestra respuesta final es:

m (5/3) / 8

No tocaremos la fracción impropia en este video. Simplemente estamos simplificando exponentes racionales.

Ejemplo # 7

Simplifica usando exponentes positivos. Siempre reduzca las fracciones a los términos mínimos.

Primero vamos a simplificar el poder a un poder. Recuerde, potencia a una potencia significa multiplicar los exponentes. Eso nos dará:

A continuación, si es necesario, escriba los términos semejantes entre sí. No es necesario simplificar las fracciones ahora. Vamos a pasar al cociente de poderes. Recuerde, cuando dividimos, restamos sus exponentes. Entonces eso nos va a dar:

p (3/10 – (-2/10)) q (-1/4 – (-1/4))

Así que sigamos simplificando.

p (5/10) q (0)

El exponente cero dice q 0 es igual a 1. Ahora necesitamos reducir nuestra fracción 5/10. Eso nos dará nuestra respuesta:

p (1/2)

La fórmula de radical a fracción racional utilizada en el ejemplo 8

Fórmula de fracción radical a racional

Repasa la fórmula de radical a fracción racional …

La b -ésima raíz de x a = x ( a / b )

El índice es el denominador. El exponente es el numerador. ¿Qué pasa cuando la expresión tiene radicales?

1. Cambia los radicales a exponentes racionales
2. Siga las reglas de los exponentes

Ejemplo # 8

(tercera raíz de x ) (quinta raíz de x 4 )

Primero necesitamos cambiar a exponentes racionales, así que tendremos:

x (1/3) * x (4/5)

¿Recordó que el denominador es el número índice y el numerador es el radicando exponente? Siguiendo nuestras reglas de exponentes, haremos un producto de potencias. Recuerde, cuando multiplicamos, sumamos sus exponentes. Entonces vamos a tener:

x (1/3 + 4/5)

Bueno, 1/3 más 4/5 es 17/15. Entonces nuestra respuesta será:

x (17/15)

Recuerde, necesitamos volver a convertir el exponente racional en una expresión radical.

x (17/15) = raíz 15 de x 17

Resumen de la lección

Los exponentes racionales siguen las reglas de los exponentes. Recuerde reducir las fracciones como su respuesta final, pero no necesita reducir hasta la respuesta final. Para operaciones con expresiones radicales, cambie el radical a una expresión racional, siga las reglas del exponente, luego cambie la expresión racional de nuevo a una expresión radical.

Objetivos de la lección

Al final de esta lección, podrá simplificar expresiones con exponentes racionales.