Tomando la derivada de ln (x) ^ x: procedimientos y pasos
Hallar la derivada de ln x x
Comenzamos usando la derivada del logaritmo natural de x .
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Podemos ver esto de dos maneras:
- la derivada del logaritmo natural de “algo” es 1 sobre el “algo”
- usando la regla de la cadena
La regla de la cadena dice que la derivada de una función de una función es la derivada de la función externa multiplicada por la derivada de la función interna. Para ln x , la función externa es ln y su derivada es 1 / x . La función interna es x y escribimos su derivada como d / d x de x . Por lo tanto, usando la regla de la cadena,
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Pero la derivada de x con respecto ax es 1:
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Y 1 por 1 / x es simplemente 1 / x :
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Este es el mismo resultado que simplemente diferenciar ln x , entonces, ¿por qué molestarse con la regla de la cadena? Bueno, la tarea en esta lección tiene una función interna que es x x, por lo que usar la regla de la cadena en algo más simple es un buen calentamiento. Primero trabajemos en la derivada de x x .
Paso 1: Escribe y = x x .
Puede parecer arbitrario pero sea y = x x .
Paso 2: toma el logaritmo natural de ambos lados y simplifica.
Tomando el ln de ambos lados:
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Una propiedad de los logaritmos nos permite poner el exponente delante de ln:
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Paso 3: Diferenciar ambos lados.
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La derivada de ln y con respecto ax es 1 / y multiplicada por la derivada de y con respecto a x . Este es el lado izquierdo.
El lado derecho usa la regla del producto : la derivada de un producto de dos funciones es la derivada de la primera función por la segunda función más la primera función por la derivada de la segunda función.
La derivada de la primera función es la derivada de x, que es 1.
La derivada de la segunda función es la derivada de ln x que es 1 / x .
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En el lado derecho podemos simplificar aún más porque 1 por ln x es ln x y x por 1 / x es 1:
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Paso 4: Resuelva para d y / d x
Multiplicando ambos lados por y :
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Cuando comenzamos, dejamos y = x x . En el lado derecho, reemplace y con x x :
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En el lado izquierdo, reemplace y con x x :
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Y tenemos nuestra derivada de la función interna.
Paso 5: usa la regla de la cadena para encontrar la derivada de ln x x .
Estamos listos para la última parte. Usando la regla de la cadena, la derivada de ln x x es 1 dividida por x x por la derivada de x x :
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Sustituyendo nuestro resultado por la derivada de x x :
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El 1 sobre x x cancela el x x dejando
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Tenga en cuenta que el 1 se escribe primero y luego el ln x porque se ve mejor.
El resultado final
La derivada de ln x x es:
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Verificación del resultado gráficamente
Los logaritmos se definen para argumentos mayores que 0. Por lo tanto, la gráfica de ln x x se dibuja para x > 0:
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La derivada es la pendiente de la recta tangente. La derivada es 1 + ln x . En x = 1, 1 + ln x = 1 + ln 1 = 1 + 0 = 1. Por tanto, en x = 1, la recta tangente a la curva tendrá una pendiente igual a 1.
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La gráfica de la recta tangente da una pendiente predicha por el resultado de hallar la derivada de ln x x .