Los círculos son mágicos
David Copperfield, Harry Houdini, Penn and Teller, Gob Bluth … la lista de magos famosos (o debería decir ilusionistas) sigue y sigue. Agreguemos círculos a esa lista.
Espera, ¿círculos? ¿Cómo son los círculos mágicos? Los círculos son mágicos por sus asombrosas propiedades. En esta lección, veremos algunas líneas. Sin círculos, serían líneas aburridas, nada más. ¿Sabes cómo cosas como conejos, pañuelos y cajas con personas se vuelven mucho más interesantes cuando hay un mago cerca? Eso es como líneas y círculos. Averigüemos cómo.
Acordes de intersección
Aquí hay dos líneas que se cruzan. Meh. Lo sé. Pero, ¿y si agregamos un círculo como este? Ahora no son solo líneas, son acordes. Una cuerda es un segmento de línea con puntos finales en un círculo. Eso es solo un truco de calentamiento, convertir líneas en acordes.
 |
Disonante: Definición, Música, Armonía y Acordes
Cuando los acordes se cruzan en un círculo, adquieren una relación especial que involucra sus longitudes. Por favor, asegúrate de que no haya nada bajo mis mangas. Ok, en nuestro ejemplo aquí, podemos probar que AE * EB = CE * ED . Entonces, si AE es 6, EB es 3 y CE es 8, podemos llamar a ED x y decir 6 * 3 = 8x. 6 * 3 es 18, entonces x es igual a 18 dividido por 8, que es 2,25. ¡Voila!
 |
¿Qué puedes hacer con esta magia? Siempre puede encontrar la longitud de un segmento de cuerda faltante si conoce los otros tres. Ok, no es salir de una camisa de fuerza mientras está sumergido en un tanque de agua, pero sigue siendo bastante bueno.
Rompemos el código del mago y entendamos cómo funciona este truco. Primero, dibuje las líneas AC y DB. Ahora tenemos dos triángulos. Ahora sabemos que los ángulos CAE y EDB son congruentes, al igual que los ángulos ACE y EBD. ¿Por qué? Porque son ángulos inscritos que interceptan el mismo arco, y esos son siempre congruentes.
 |
Como tenemos dos pares de ángulos congruentes, entonces los triángulos son similares. Y en triángulos semejantes, los lados están en proporción. Entonces AE / ED = CE / EB. Multiplica de forma cruzada y obtienes AE * EB = CE * ED. ¡Vaya!
Dos secantes
Intentemos un truco similar. Esta vez estamos viendo secantes. Una secante es una línea que corta dos o más puntos en una curva. Espera, sin curva, no son secantes; son solo líneas. Y las líneas no son mágicas. Agreguemos un círculo.
 |
Bien, ahora estas líneas adquieren una relación especial ya que son oficialmente secantes en un círculo y comparten un punto final externo. Tenga en cuenta que nunca había conocido a estas secantes antes de esta noche. Vamos a tomar una secante completa, AC, y multiplicarla por su segmento externo, AB. ¿Están todos conmigo? Bueno. Ahora vamos a hacer lo mismo con la otra secante: AE * AD.
Experimentos que involucran seres vivos: evaluación y crítica
¿Y adivina qué? AC * AB = AE * AD . Entonces, si AB es 6 y AC es 10, y también sabemos que AD es 5, ¿qué es AE? Llamemos AE x. Entonces nuestra ecuación es 6 * 10 = 5x. Eso es 60 = 5x. 60 dividido entre 5 es 12. Entonces AE es, ¡espere, 12!
Secantes y tangentes
¿Puedes manejar uno más? Ok, primero, haré desaparecer una secante. En su lugar, tenemos una línea tangente. Una tangente es una línea que se cruza con una curva en un solo punto.
Para mi truco final, voy a multiplicar toda la secante, AD, por el segmento externo, AC. Luego, voy a cuadrar la recta tangente, AB. Entonces tenemos AD * AC y tenemos AB ^ 2. Mantenga sus ojos en las dos expresiones. No prestes atención al humo ni a los espejos.
 |
Y ahora tenemos esto: AD * AC = AB ^ 2
Espera, podrías preguntarte, ¿podemos ver esto en acción? ¡Por supuesto! Digamos que AB es 6 y AC es 3. ¿Qué es AD?
Entonces 6 ^ 2 = 3x, donde x es AD. 6 ^ 2 es 36. 36/3 es 12. Entonces AD es 12. Sí, eso sucedió.
Resumen de la lección
En resumen, los círculos son mágicos. Más importante aún, las longitudes de las líneas en los círculos tienen relaciones únicas.
Con los acordes que se cruzan, el producto de los segmentos del acorde son iguales entre sí. Entonces, en este ejemplo, AE * EB = CE * ED.
Con dos secantes que comparten un punto final, el producto de un segmento externo y la secante completa es igual al producto del otro segmento externo y su secante completa. Entonces, en este ejemplo, AC * AB = AE * AD
Finalmente, con una tangente y una secante que comparten un punto final, el producto de la secante y su segmento externo es igual a la tangente al cuadrado. Entonces, en este ejemplo, AD * AC = AB ^ 2.
Gracias por venir. ¡Disfruta del buffet! Estaré aquí toda la semana.
Los resultados del aprendizaje
Después de completar esta lección, debería poder:
- Identificar acordes en un círculo
- Reconocer secantes con un punto final fuera de un círculo
- Entender una secante y una tangente
- Resolver medidas con cuerdas, secantes y tangentes
Explora más sobre este tema
Selecciona un tema y sigue aprendiendo...
