Linealización de funciones

Estimación de distancias y tiempo

Usando linealización para el ejemplo de la abuela

Digamos que una tarde decides visitar a tu abuela, que vive a 10 millas de ti. Así que te vas, cruzas el río y atraviesas el bosque, y después de media hora ves un letrero que dice: ‘Casa de la abuela: 1 milla’. Miras tu reloj y piensas: ‘¡Guau! ¿Treinta minutos por 9 millas? ¡Eso significa que mi tasa de cambio promedio, mi velocidad promedio, es de solo 18 millas por hora (mph)! Pero ahora voy a 30 mph ‘. Entonces piensas: ‘Bueno, si voy a 30 mph ahora, ¿cuánto tiempo me tomará llegar a la casa de la abuela desde aquí? A 30 mph, 1 milla me llevará 2 minutos ‘. Y te vas. Echemos un vistazo a lo que acaba de hacer. Tomó su posición actual, que está a 1 milla de la casa de la abuela, 30 minutos adentro, y extrapolaste para saber dónde estarías si seguías yendo a la misma velocidad durante un minuto más. Entonces usó su velocidad actual, su tasa de cambio instantáneo, para estimar dónde estará en el futuro.

Comprender la linealización

Sin saberlo, usó un concepto llamado linealización . La linealización, formalmente, se ve así: f ( x + delta x ) es aproximadamente igual af (x) + delta xf` (x) . Entonces, ¿qué significa esto para visitar la casa de la abuela? Bueno, la función que estás viendo es tu posición, y dijiste: ‘¿Cuál es mi posición en el momento t , más un delta t ?’ Entonces t es 30 minutos, y delta t será +1. Dijiste: ‘Mi posición va a ser aproximadamente igual a donde estoy ahora, x (t) , más el cambio en el tiempo, multiplicado por la velocidad a la que voy, esto f’ (x), entonces eso es x` (t) – esta es tu velocidad.

Uso de linealización para estimar viajes

Si conduce 8 horas a una velocidad de 30 mph, habrá recorrido un total de 240 millas.

Veamos esto de manera ligeramente diferente. Digamos que ahora quiere hacer un viaje por carretera, no solo a la casa de la abuela. Y quieres saber qué tan lejos de casa estarás al final del día. Bueno, cuando comience su viaje por carretera, tal vez vaya a 30 mph. Entonces comienza su viaje por carretera a unas 30 mph, y en este punto aún no ha ido a ningún lado, pero sabe que hoy viajará 8 horas. Suponiendo que vas a recorrer 30 mph durante 8 horas, terminarás a 240 millas de donde comenzaste. Eso es asumiendo que continuará a su ritmo actual de cambio.

Digamos que después de 2 horas, nuevamente echas un vistazo a qué tan lejos has llegado para estimar qué tan lejos vas a llegar ese día. Después de 2 horas, ha recorrido 100 millas. Ahora vas a 60 mph y sabes que debido a que has viajado 2 horas y has planeado 8 horas en total, tienes 6 horas más de viaje por delante. Entonces, si voy a viajar 6 horas más a mi velocidad actual de 60 mph, serán 360 millas más, y lo agregaré a las 100 millas que ya he viajado. Eso significa que al final del día, habré recorrido 460 millas, en lugar de 240. Después de 4 horas, revisa su cálculo nuevamente. Ahora ha viajado 200 millas, pero está en un punto muerto en la autopista. Usando su velocidad actual de 0 mph, no importa que usted ‘ Vas a viajar otras 4 horas, porque no vas a ir a ningún lado. Entonces, su distancia estimada al final del día será de 200 millas, que es exactamente lo que ha viajado hasta ahora.

Ahora, un par de horas más tarde, afortunadamente, ha comenzado a moverse de nuevo, vuelve a mirar su distancia estimada para el día. Entonces, después de 7 horas de estar en la carretera, actualmente va a 60 mph. Has recorrido un total de 340 millas, y tienes 1 hora antes de que te entregues. Dado que has viajado 340 millas y te queda 1 hora, a 60 mph, parece que estás voy a recorrer 400 millas durante el día. Treinta minutos después, resulta que estás nuevamente en un punto muerto. Ahora ha viajado 370 millas, pero no parece que vaya a ir a ningún otro lugar. Su velocidad actual es 0, tiene media hora antes de regresar y, según su velocidad actual, no va a ir más allá de 370 millas. Entonces, su distancia estimada es de 370 millas. Cuando finalmente te vayas por el día

Los cambios en la velocidad durante el viaje de 8 horas llevaron a un total de 375 millas recorridas

Al comienzo del día, pensó que viajaría a 30 mph todo el tiempo, y eso le dio una estimación de solo 240 millas. A medida que avanzaba el día, se hizo una idea mucho mejor de lo lejos que realmente podría viajar ese día. Ya sea porque la construcción de una carretera o la policía lo detuvieron, tal vez yendo cuesta abajo y no parando para cargar gasolina, a medida que avanzaba el día, tenía una idea mucho mejor de qué tan lejos viajaría realmente. Y esto es como una linealización.

Reescritura de linealización

En la linealización, cuanto más pequeño es el delta x , más cerca está del número que realmente está estimando. Entonces, ¿cuánto tiempo te llevará llegar a la casa de la abuela o qué tan lejos viajarás en un día? Cuanto más cerca estés de eso, mejor será tu estimación. Entonces, lo que esto significa es que funciona mucho mejor para valores más pequeños de delta x . Ahora bien, esto tiene mucho sentido matemáticamente. Echemos otro vistazo a esta ecuación y reescribamos esto, f ( x + delta x ). Restaremos esta f (x) de ambos lados y dividiremos todo por delta x . Entonces f ( x +delta x ) – f (x) / delta x es aproximadamente igual af` (x) . Bueno, sabemos que el límite cuando delta x va a cero hace que esto sea exacto, porque esta es la definición de la derivada, f ‘(x) . Por lo tanto, tiene sentido que cuanto más se acerque delta x a cero, más precisa será la linealización.

Gráfico del problema de linealización final

Echemos un vistazo más a esto. Digamos que f ( x + delta x ) es aproximadamente igual af (x) + delta xf` (x) . Pero reescribamos eso, de modo que en lugar de tener x + delta x , llamemos a eso un nuevo punto: a . La diferencia entre a y x es delta x , entonces delta x = a – x . Si conectamos eso en todas partes donde vemos delta x , terminamos con f (a) es aproximadamente igual af (x) + ( a –x ) f ‘(x) . Queremos estimar cuál es nuestra función en f (a) , por lo que en este punto, la derivada nos da una pendiente que sube aquí. Voy a multiplicar esa pendiente, f` (x) , por esta distancia. Estamos sumando esa distancia a nuestro valor actual, f (x) . A medida que x se acerca a a , digamos aquí, nuestra estimación mejorará. Así que aquí tenemos una nueva pendiente, una nueva subida sobre la carrera. Nuestra carrera es un poco más corta y, en este caso, nuestro aumento es menor, por lo que obtenemos una mejor estimación de f (a) .

Resumen de la lección

Revisemos. La linealización es una forma de estimar algún valor de una función dado un valor diferente y la derivada cercana. Entonces, dada la información en x , vamos a estimar qué f ( x + delta x ) está cerca. Ahora, esto es mejor para un delta x más pequeño , y lo calculamos diciendo que f ( x + delta x ) es aproximadamente igual af (x) + delta xf` (x) .

Rodrigo Ricardo Editor y fundador