Hiperboloides de una hoja
La próxima vez que pase por una planta de energía, mire las torres. Estas son torres de enfriamiento. Las centrales eléctricas generan tanto calor como electricidad. El calor produce agua caliente que se deja enfriar antes de escapar a la atmósfera en forma de vapor. La forma especial de la torre ayuda al proceso de enfriamiento. Un fondo ancho ofrece un área grande para contener el agua caliente. Es como una taza de café humeante; cuanto más ancha sea la taza, más rápido se evaporará el líquido en forma de vapor. A medida que sube el vapor, el estrechamiento de la torre hace que el vapor suba y se enfríe aún más rápido. Cuando la torre se ha vuelto a ensanchar, el vapor está mucho más frío y listo para la atmósfera.
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Esta fascinante forma matemática tiene un nombre: un hiperboloide de una hoja .
Llevando el hiperboloide a lo largo de un eje
Imagínese que su trabajo consiste en instalar una de estas torres de enfriamiento. Llega al sitio acostado de lado.
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Como aspirante a matemático, decide escribir una ecuación. Como buen comienzo, definimos las direcciones x , y y z . Luego, para la apertura a lo largo del eje x , escribimos:
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En este punto, notamos que lo negativo va con el término x . Bien, ¿qué pasa si la torre apunta a lo largo del eje y ?
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¡Probablemente hayas respondido correctamente! El término y tiene signo negativo. Aquí está la ecuación:
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¡Basta de juegos con esta torre! Pongámoslo de pie con la abertura a lo largo del eje z .
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El signo menos ahora está delante del término z , tal como esperábamos:
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Aquí hay algunas observaciones: la ecuación hiperboloide describe una figura simétrica que va al infinito para z tanto positivo como negativo . Solo mostramos una parte de esta figura infinita en los dibujos. Además, una torre de enfriamiento real no es simétrica. La parte de la torre donde se estrecha a veces se llama garganta . Hay más torre debajo de la garganta que encima de ella. Regresaremos a estas observaciones más adelante cuando diseñemos una torre.
Por ahora, divirtámonos de verdad cortando este hiperboloide como si fuera un pastel. ¡Un pastel hiperboloide no es tu pastel básico!
Cortar el hiperboloide
Digamos que tenemos el hiperboloide en su dirección de pie. El origen está en el centro del hiperboloide. El origen es donde x , y y z son todos iguales a cero. Imagínese tomando un corte horizontal en la parte más estrecha. Esta porción equivale a establecer z igual a 0:
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Establecer z igual a 0 nos da:
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Esta es la ecuación de una elipse en el plano xy. Imagina que estás suspendido sobre el hiperboloide, un poco hacia un lado, y estás mirando hacia abajo. ¿Ves la elipse? Este tipo de hiperboloide se llama hiperboloide elíptico .
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Normalmente, sin embargo, las secciones horizontales de las torres son circulares. En nuestra ecuación hiperboloide, simplemente establecemos a igual ab . Este tipo de hiperboloide se denomina hiperboloide circular (también conocido como hiperboloide de revolución ).
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Ahora seamos creativos con nuestras porciones. ¿Qué tal un corte vertical? Si tomamos un corte vertical del hiperboloide, obtenemos una hipérbola.
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¿Qué pasa en la ecuación? Establecemos x igual a 0 y para obtener el corte de hipérbola en el plano yz; ahora nuestra ecuación dice:
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Por cierto, el corte vertical en el plano xz también es una hipérbola. En la ecuación, esto sucede estableciendo y igual a 0.
Ahora los nombres tienen más sentido. Recuerde, un ‘hiperboloide de revolución’ es el otro nombre para un ‘hiperboloide circular’. Si giramos el corte de hipérbola alrededor del eje z , la figura que aparece tiene círculos para sus cortes horizontales. ¡Ajá! Es un hiperboloide circular.
¡Podemos hacer muchas rebanadas! Los círculos (o elipses) cortan paralelos al suelo y las hipérbolas cortan verticalmente. Una buena forma de ver el hiperboloide podría incluir muchos de estos cortes:
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¡Suficiente rebanar! Veamos qué se necesita para diseñar una torre de enfriamiento.
Poner números en la ecuación
¿Qué pasa si tomamos la ecuación hiperboloide y la usamos para diseñar una torre de enfriamiento?
Démosle a la garganta un diámetro de 180 pies y colóquela a 340 pies sobre el suelo. En la base, el diámetro es de 320 pies. La altura de 400 pies es un número típico para estas estructuras. El resto de nuestros números provienen de medir una foto de una torre de enfriamiento y escalar estos números a la altura de 400 pies.
Aquí hay un dibujo bidimensional de nuestra torre de enfriamiento:
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¿Cómo se relaciona todo esto con la ecuación y la figura del ‘Hiperboloide a lo largo del eje z ‘? Como diseñadores, tenemos que encontrar una , b , y c .
Primero, juguemos con la ecuación. La base es un círculo, lo que nos dice un = b . Además, x ^ 2 + y ^ 2 = R ^ 2 donde R es el radio del círculo. Entonces,
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En la garganta, z = 0. De nuestra ecuación usando el radio, obtenemos R ^ 2 / a ^ 2 – 0 = 1, lo que significa a = R. El diámetro de diseño es 180 pies, por lo que el radio R es 180/2 = 90. ¡Genial! Tenemos a = 90. ¿Qué le pasó a b ? Recuerde, b es igual a a .
Esto nos deja con la búsqueda de c . Para encontrar esto, necesitamos preguntar: ¿qué son z y R en la base? z es -340 pies y R = 320/2 = 160. Recuerde, nuestra ecuación hiperboloide tiene z = 0 en la garganta, entonces z es -340 en el suelo. De R ^ 2 / a ^ 2 – z ^ 2 / c ^ 2 = 1, podemos insertar nuestros números y obtener 160 ^ 2/90 ^ 2 – (-340) ^ 2 / c ^ 2 = 1. Por supuesto , (-340) ^ 2 es lo mismo que (340) ^ 2. Para aislar c , encontramos: (160/90) ^ 2 – 1 = 340 ^ 2 / c ^ 2 que se simplifica ac = 340 / ((160/90) ^ 2-1) ^. 5, que se redondea a 231 .
Aquí hay otra cosa que debemos tener en cuenta: la ecuación hiperboloide está diseñada para tener z = 0 en la garganta. Por lo general, pensamos en z = 0 como el nivel del suelo. Sería bueno cambiar los valores de z en 340 pies para que la torre descanse en el suelo (¡y no debajo de él!). Podemos hacer esto restando 340 de z en la ecuación. Si no se siente cómodo restando 340, podemos elegir entre dos formas de razonarlo. Si resolviéramos la ecuación hiperboloide para z , entonces sumaríamos 340 al lado derecho para subir los valores. Transferir el 340 al lado izquierdo significa que z se ha convertido en z– 340. Otra forma de pensar en esto es que tenemos 0 en la garganta. Si el término z es ahora el término z – 340, entonces este nuevo término es cero para z igual a 340. Espero que eso ayude.
Entonces, nuestra ecuación de diseño es:
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¿Qué pasa con la declaración ‘para’? La ecuación hiperboloide implica simetría y nuestra ecuación de diseño es válida para todos los valores de z . Una vez que tenemos una , b , y c , se puede truncar la torre a cualquier altura que nos gusta. En este diseño, z comienza en z = 0 (el suelo) y termina en z = 400.
Hemos jugado con esta figura lo suficiente, ¡es hora de enfriar un poco!
Resumen de la lección
Un hiperboloide de una hoja es la forma típica de una torre de enfriamiento. Un corte vertical y uno horizontal a través del hiperboloide producen dos figuras diferentes pero reconocibles. Uno de los dos cortes es siempre una hipérbola. El otro corte es una elipse o un círculo. Si este otro corte es una elipse, tenemos un hiperboloide elíptico . Si el otro corte es un círculo, tenemos un hiperboloide circular . Otro nombre para un hiperboloide circular es hiperboloide de revolución .
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