Derivados
Suponga que acaba de ver una carrera de autos en un circuito de ida y vuelta. Los conductores condujeron 2.800 pies hacia afuera y 2.800 pies hacia atrás. La ganadora de la carrera condujo de tal manera que su distancia desde la salida se puede modelar usando la función:
f ( x ) = -7 x 2 + 280 x
donde x es el número de segundos desde el inicio de la carrera.
Mientras se jactaba del primer lugar, alguien le preguntó qué tan rápido iba. Se dio cuenta de que sabía que su velocidad era diferente en diferentes puntos de la carrera, pero no estaba segura de cómo saber qué tan rápido iba en un momento dado. Hmmm … ¿alguna idea? Afortunadamente, hay una respuesta matemática a este acertijo, y esa respuesta se encuentra en las derivadas.
La derivada de una función es la tasa a la que el valor de la función cambia, con respecto a x , a un valor dado de x . Por lo tanto, si podemos encontrar la derivada de la función de distancia del ganador, entonces podemos encontrar qué tan rápido iba en un momento dado de la carrera. ¡Echemos un vistazo a cómo hacer esto!
Biorritmos: definición, historia y como calcular
Cálculo de derivados
Puede recordar algo llamado cociente de diferencias de un curso de álgebra o precálculo. El cociente de la diferencia de una función f ( x ) es una fórmula que da la pendiente de la línea a través de cualquiera de los dos puntos con x coordenadas x x y x + h en la función:
( f ( x + h ) – f ( x )) / h
Esta es la clave para calcular las derivadas. Las derivadas se calculan hallando el límite del cociente de diferencias de una función cuando h se acerca a 0, como puede ver a continuación.
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Cálculo Diferencial: definición, concepto y formula
Básicamente, podemos calcular la derivada de f ( x ) usando la definición límite de derivadas con los siguientes pasos:
- Encuentre f ( x + h ).
- Reemplaza f ( x + h ), f ( x ) y h en la definición límite de una derivada.
- Simplifica el cociente de diferencias.
- Tome el límite, cuando h se acerca a 0, del cociente de diferencias simplificado.
Ejemplo
Así que considere nuestra función de carrera f (x) = -7x 2 + 280x. Primero, encontramos f ( x + h ):
f ( x + h ) = -7 ( x + h ) 2 + 280 ( x + h ) = -7 ( x 2 + 2 xh + h 2 ) + 280 x + 280 h = -7 x 2 – 14 xh – 7 h 2 + 280 x + 280 h
Ahora, conectamos la definición del límite, simplificamos y encontramos el límite, como puede ver aquí.
Fórmula de función de costo y ejemplos Calcular función de costo
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Todo bien. Ahora que ha hecho eso, vemos que la derivada de f ( x ) es:
f ‘( x ) = -14 x + 280
Podemos utilizar esta fórmula para calcular la velocidad del ganador en cualquier momento durante la carrera. Por ejemplo, considere su velocidad después de 10 segundos. Conectamos x = 10 en la fórmula derivada:
f ‘( x ) = -14 (10) + 280 = 140
Obtenemos que la derivada de f en x = 10 es 140, por lo que a los 10 segundos de carrera, ¡estaba conduciendo a 140 mph! ¡Vaya, eso es tan rápido!
Otro ejemplo
Bien, un ejemplo más del uso de esta definición de límite para calcular una derivada. Considere la función g ( x ) = 1 / x , donde x ≠ 0. Para encontrar la derivada usando la definición límite de derivadas, primero encontramos g ( x + h ):
g ( x + h ) = 1 / ( x + h )
Ahora, conectamos g ( x + h ), g ( x ) yh en la definición de límite y encontramos el límite, como puede ver a continuación.
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Vemos que la derivada de g ( x ) = 1 / x es g ‘( x ) = -1 / x 2 .
Fórmulas para derivados
Siempre podemos usar la definición límite de derivadas para calcular derivadas. Sin embargo, también tenemos algunas fórmulas agradables para derivadas de varios tipos de funciones comunes. Estas fórmulas son un resultado directo de la definición de límite de una función.
Tenerlos a mano puede hacer las cosas mucho más simples, así que siéntase libre de mirar la tabla a continuación:
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Consideremos nuestro ejemplo de coche de carreras una vez más. La tabla muestra que la derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas. Por lo tanto, la derivada de nuestra función de auto de carrera, f ( x ) = -7 x 2 + 280 x es igual a la suma de la derivada de -7 x 2 y 280 x .
Para encontrar estas derivadas, vemos que la imagen da la fórmula para la derivada de una función de la forma ax n como nax ( n – 1) .
Por lo tanto, la derivada de -7 x 2 es (2) (- 7) x 2-1 = -14 x y la derivada de 280 x es (1) (280) x 0 = 280. Todos juntos, tenemos que el derivada de f ( x ) es:
f ‘( x ) = -14 x + 280
Vemos que obtenemos el mismo resultado que cuando usamos la definición límite de derivadas.
Resumen de la lección
La derivada de una función, f ( x ), es la tasa a la que el valor de la función cambia con respecto a x . Podemos calcular derivadas usando la definición de límite de una derivada, que puede ver aquí se hace al encontrar el límite del cociente de diferencias de una función cuando h se acerca a 0:
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Esta definición de límite no solo se puede usar para calcular derivadas, sino que también la podemos usar para encontrar fórmulas para derivadas de funciones comunes, lo que puede hacer que el cálculo de derivadas sea mucho más simple en general. Cuanto más trabajamos con derivadas, más nos familiarizamos con atajos como estas fórmulas, por lo que probablemente sea una buena idea seguir practicando.
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