Coeficientes indeterminados: método y ejemplos

Introducción

Las ecuaciones diferenciales son ecuaciones matemáticas que representan una relación entre una función y una o más de sus derivadas. Las ecuaciones diferenciales se utilizan para modelar matemáticamente problemas de economía, física e ingeniería. Los ejemplos incluyen la mecánica, donde usamos tales ecuaciones para modelar la velocidad de los objetos en movimiento (como automóviles o proyectiles), así como la electrónica, donde se emplean ecuaciones diferenciales para relacionar voltajes y corrientes en un circuito.

Si bien el cálculo nos ofrece muchos métodos para resolver ecuaciones diferenciales, existen otros métodos que transforman la ecuación diferencial, que es un problema de cálculo, en una ecuación algebraica. El método de la transformada de Laplace es precisamente uno de estos métodos, y también lo es el método examinado en esta lección, llamado método de coeficientes indeterminados.

El término ‘coeficientes indeterminados’ se basa en el hecho de que la solución obtenida contendrá uno o más coeficientes cuyos valores generalmente no conocemos. Además de los coeficientes cuyos valores no se determinan, la solución encontrada con este método contendrá una función que satisfaga la ecuación diferencial dada. Por ejemplo, digamos que en el proceso de resolver una ecuación diferencial, obtenemos una solución que contiene los coeficientes indeterminados A , B y C , dados por

Esto significa que para cualquier valor de A , B y C , la función y (t) satisface la ecuación diferencial. Por ejemplo, podríamos establecer A = 1, B = 1 y C = 2, y descubrir que la solución,

satisface la ecuación diferencial. También significa que cualquier otro conjunto de valores para estas constantes, como A = 2, B = 3 y C = 1, o A = 1, B = 0 y C = 17, también produciría una solución. Por lo tanto, las siguientes funciones también son soluciones:

Así, podemos ver que al hacer uso de coeficientes indeterminados, podemos encontrar una familia de funciones que satisfacen todas la ecuación diferencial, sin importar cuáles sean los valores de estos coeficientes desconocidos.

Para aprender más sobre el método de coeficientes indeterminados, debemos asegurarnos de saber qué son las ecuaciones homogéneas y no homogéneas de segundo orden.

Repaso: Ecuaciones homogéneas

Una ecuación diferencial homogénea de segundo orden tiene la forma

donde una , b y c son constantes.

La solución de tal ecuación involucra la ecuación característica (o auxiliar) de la forma

Dependiendo del signo del discriminante de la ecuación característica, la solución de la ecuación diferencial homogénea se encuentra en una de las siguientes formas:

Ecuaciones no homogéneas

Pero, ¿es posible resolver una ecuación diferencial de segundo orden cuando el lado derecho no es igual a cero? Una ecuación de la forma

donde g (t) es distinto de cero, se denomina ecuación no homogénea .

Resulta que si la función g (t) en el lado derecho de la ecuación diferencial no homogénea es de un tipo especial, existe una técnica muy útil conocida como el método de coeficientes indeterminados que nos proporciona una solución única que satisface el ecuación diferencial. Esta solución única se llama solución particular de la ecuación.

El método de coeficientes indeterminados

Consideremos el caso especial en el que el lado derecho de la ecuación diferencial no homogénea tiene la forma

Aquí n es un número entero no negativo (es decir, n puede ser positivo o cero), r es cualquier número real y C es un número real distinto de cero.

Consideremos el siguiente ejemplo:

Si C = 6, n = 2 y r = 4, el lado derecho de la ecuación es igual a

El método de coeficientes indeterminados puede aplicarse cuando el lado derecho de la ecuación diferencial satisface esta forma. Nos proporciona una solución particular a la ecuación.

El método de coeficientes indeterminados establece que la solución particular será de la forma

Tenga en cuenta que esta solución contiene al menos una constante (de hecho, el número de constantes es n + 1 ):

El exponente s también es una constante y toma uno de tres valores posibles: 0, 1 o 2. Su valor representa el número de coincidencias entre ry las raíces de la ecuación característica. Para ser más específicos, el valor de s se determina en base a los siguientes tres casos.

Por lo tanto, si r no es una solución de la ecuación característica (por lo que no hay coincidencia), establecemos s = 0.

Entonces, si r es una raíz simple (o única) de la ecuación característica (tenemos una sola coincidencia), entonces establecemos s = 1.

Este es el caso donde r es una raíz doble de la ecuación característica, es decir, tenemos una coincidencia doble; por lo tanto, establecemos s = 2.

Ejemplo

Encuentra una solución particular a la ecuación diferencial

Solución

Paso 1

Primero verificamos si el lado derecho de la ecuación diferencial tiene la forma para que se aplique este método.

Nosotros fijamos

Al comparar ambos lados de la ecuación, podemos ver que son iguales cuando

Paso 2

Ahora consideramos la forma homogénea de la ecuación diferencial dada; es decir, establecemos temporalmente el lado derecho de la ecuación en cero. Esto nos da la ecuación homogénea

cuya ecuación característica es

Podemos encontrar las raíces de esta ecuación usando factorización, ya que el lado izquierdo de esta ecuación se puede factorizar para producir la ecuación

Por lo tanto, las dos raíces distintas de la ecuación característica son

En el paso 3 a continuación, usaremos estas soluciones para determinar el valor del exponente s en la solución particular.

Paso 3

Ahora volvemos a la ecuación no homogénea. Notamos que tenemos

Por lo tanto, r es una raíz simple de la ecuación característica, aplicamos el caso (2) y establecemos s = 1.

Paso 4

La solución particular de esta ecuación no homogénea es

Ya hemos determinado que

Dado que n = 0, la expresión entre paréntesis consta de una sola constante, a saber:

Por tanto, la solución particular de la ecuación diferencial es

Resumen

Hemos descubierto que una categoría especial de ecuaciones diferenciales no homogéneas de segundo orden se puede resolver utilizando el método de coeficientes indeterminados. Este método nos permite encontrar una solución particular a la ecuación diferencial. Requiere la solución de la ecuación homogénea correspondiente, incluida la generación de la ecuación característica. Si bien este método no se puede utilizar para resolver todas las ecuaciones de segundo orden no homogéneas, nos proporciona una solución particular siempre que el lado derecho de la ecuación tenga la forma:

Rodrigo Ricardo Editor y fundador