Cómo cambiar los límites de integrales definidas
Expresando la misma idea
Eres nuevo en la ciudad y pides a un par de amigos cómo llegar al parque. Uno le dice que conduzca hacia el norte por 2 millas, luego conduzca hacia el oeste por 1 milla. El otro le dice que conduzca hacia el norte durante unos 4 minutos, luego gire a la izquierda y conduzca durante unos 2 minutos. Ambos amigos te llevan al parque. ¿Es una forma mejor que la otra? ¡No! Algunas personas prefieren medir distancias precisas, mientras que a otras les va mejor con el tiempo. De manera similar, la idea de cambiar los límites de integrales definidas al sustituir es simplemente expresar el mismo problema de una manera diferente.
U- sustitución
Al evaluar una integral mediante la sustitución de u , una expresión que involucra la variable original se reemplaza por una nueva variable. El resultado final es una integral más simple.
Cuando usamos la sustitución de u para evaluar una integral definida, debemos cambiar cada parte de la integral para usar la nueva variable (usualmente u ) en lugar de la antigua (usualmente x ). Hay tres piezas que deben cambiarse:
- La función en sí (cambia una expresión que involucre x en u )
- El diferencial (cambie dx en una expresión que involucre du )
- Los límites (cambie los límites de integración de los valores de x a los valores de u )
Con suerte, los dos primeros te son familiares. Nos centraremos en el tercer paso. Para cambiar los límites, utilizar la expresión que relaciona x y u . Reemplaza el límite inferior original para x y resuelve para u . Esto da el nuevo límite inferior. Luego, inserte el límite superior original para x y resuelva para u para encontrar el nuevo límite superior.
Ejemplo uno
Evalúe la integral definida ∫ √ (4 x +1) dx de 0 a 2.
¿Qué haces primero? Al igual que con la mayoría de las integrales definidas, debes ignorar los límites (0 y 2) al principio y centrarte en cómo encontrar una antiderivada de la función dentro de la integral. Necesitamos una antiderivada de √ (4 x +1).
Éste es bastante simple que usted podría ser capaz de hacerlo sin utilizar u -substitution, pero especialmente para los estudiantes principiantes, puede ser que sea más fácil de sustituir u = 4 x + 1. Luego, tomar la derivada de ver que du = 4 dx y resuelva para dx para obtener dx = 1/4 * du .
Aquí está la parte nueva. Hemos cambiado todas las expresiones que involucran x por expresiones que involucran a u . Recuerde que los límites 0 y 2 de la integral eran límites para x , ¡no para u ! Así que ahora también podemos cambiarlos.
Recuerde que u = 4 x + 1. Eso significa que cuando x = 0, u = 4 (0) + 1 = 1, y cuando x = 2, u = 4 (2) + 1 = 9. Entonces, mientras que el los límites para x eran 0 y 2, los nuevos límites para u son 1 y 9. Juntando todas estas piezas, la integral original se reescribe de la siguiente manera:
∫ √ (4 x +1) dx de 0 a 2 = ∫ √ u * 1/4 * du de 1 a 9.
¿Ves cómo todo lo que hablaba de x (la x misma, la dx y los límites) se ha cambiado para hablar de u ? Eso significa que ahora podemos olvidarnos completamente de x y simplemente evaluar la integral usando la variable u .
Para terminar, una antiderivada de √ u es 2/3 * u 3/2 , por lo que podemos terminar:
- ∫ √ u * 1/4 * du de 1 a 9
- = 2/3 * u 3/2 * 1/4 evaluado de 1 a 9
- = 1/6 (9 3/2 – 1 3/2 )
- = 1/6 (27 – 1)
- = 13/3
Ejemplo dos
Evalúe la integral definida ∫ sin 3 x cos x dx de π / 3 a π / 2.
Debes notar que la función sin 3 x cos x es bastante complicada, por lo que será útil probar una sustitución de u para simplificar la expresión.
Usemos u = sin x . Entonces du = cos x dx , entonces la integral ahora tiene u 3 du , y todo lo que queda es cambiar los límites.
Dado que u = sin x , cuando x = π / 3, u = sin (π / 3) = √ (3) / 2. Además, cuando x = π / 2, u = sin (π / 2) = 1. Nuestra integral se reescribe de la siguiente manera:
- ∫ sin 3 x cos x dx de π / 3 a π / 2
- = ∫ u 3 du de √ (3) / 2 a 1
Ahora lo resolvemos como de costumbre, usando la variable u y olvidando que la variable x alguna vez existió.
- = u 4/4 evaluado de √ (3) / 2 a 1
- = (1) 4 /4 – (√ (3) / 2) 4 /4
- = 1/4 – 9/64
- = 7/64
Sustitución trigonométrica
El otro tipo de sustitución que se usa a menudo para resolver integrales es la sustitución trigonométrica . En este tipo de sustitución, sustituimos x una función trigonométrica de θ . Esta sustitución simplifica la integral en algo que podemos manejar. Esta técnica es una de las más desafiantes en cálculo integral, por lo que si estás un poco confundido, ¡no estás solo!
Ejemplo
Evalúe la integral definida ∫ ( dx / √ ( x 2 + 9)) de 0 a √3.
Tenga en cuenta que no podemos usar ningún método ‘simple’ para encontrar una antiderivada para esta función, por lo que no tenemos más remedio que usar un método más complicado. Basado en el hecho de que vemos x 2 + 9 en esta integral, usaremos la sustitución x = 3tan θ .
Para encontrar dx , tomamos la derivada de x = 3tan θ para obtener dx = 3sec 2 θ dθ . También necesitamos simplificar la expresión de la raíz cuadrada dentro de la integral:
- √ ( x 2 + 9)
- = √ ((3tan θ ) 2 + 9)
- = √ (9tan 2 θ + 9)
- = √ (9 (tan 2 θ + 1))
- = √ (9 segundos 2 θ )
- = 3 segundos θ
Con esta simplificación y la expresión que encontramos para dx , la expresión dentro de la integral se simplifica a:
- dx / √ ( x 2 + 9)
- = 3 segundos 2 θ dθ / (3 segundos θ )
- = seg θ dθ
¡Mucho más simple! ¡Ese es el poder de la sustitución trigonométrica!
Ahora solo nos queda preocuparnos por cambiar los límites. Hacemos esto usando la relación inicial x = 3tan θ y los límites iniciales para x : 0 y √3. Primero, reemplazamos 0 para x y resolvemos para θ usando la función arctan:
- 0 = 3tan θ
- 0 = bronceado θ
- θ = arctan (0)
- θ = 0
Ahora inserta √3 y resuelve para θ :
- √3 = 3tan θ
- √ (3) / 3 = tan θ
- θ = arctan (√ (3) / 3)
- θ = π / 6
Juntando todas las piezas, reescribimos la integral original y resolvemos usando la nueva variable θ . Observe que hemos cambiado la función en sí, el dx y los límites de integración a expresiones para θ en lugar de x , por lo que podemos olvidarnos de la x cuando integremos realmente.
- ∫ ( dx / √ ( x 2 + 9)) de 0 a √3
- = ∫ seg θ dθ de 0 a π / 6
- = ln | sec θ + tan θ | evaluado de 0 a π / 6
- = ln | seg (π / 6) + tan (π / 6) | – ln | sec (0) + tan (0) |
- = ln | 2 / √3 + 1 / √3 | – ln | 1 + 0 |
- = ln (3 / √3) – ln (1)
- = ln (√3) – 0
- = ln (√3)
Resumen de la lección
Al resolver una integral definida utilizando u -substitution o trigonométrica sustitución , podemos cambiar los límites de integración. Para hacer esto, recuerde cambiar los tres aspectos de la integral para referirse a la nueva variable: la función en sí, el diferencial ( dx ) y los límites. Una vez que se hayan cambiado las tres piezas, puede evaluar la integral usando la nueva variable y olvidarse por completo de la anterior.
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