Cómo convertir entre coordenadas polares y rectangulares

Publicado el 24 noviembre, 2020 por Rodrigo Ricardo

Conversión de coordenadas

Si conoces a alguien de una cultura diferente, es bueno darle la bienvenida en su idioma. La palabra “bienvenido” se convierte en otros sonidos y letras. Es como el mismo punto pero expresado de manera diferente. En matemáticas, es como usar coordenadas polares o coordenadas rectangulares.

En esta lección, convertiremos entre coordenadas polares y rectangulares en cada uno de los cuatro cuadrantes donde las reglas pueden diferir ligeramente. Es como si la bienvenue francesa no fuera lo mismo que la bienvenida española .

Encontrar ubicaciones en un avión

Un plano tiene dos dimensiones, lo que implica dos valores. Por lo general, usamos un valor de x y un valor de y para ubicar un punto en el plano. Un punto especial en el plano es el origen, donde x y y son ambos cero. En el primer cuadrante, para llegar a un punto desde el origen nos movemos hacia la derecha una distancia específica x y luego hacia arriba una distancia específica y . El punto está etiquetado como ( x , y ). Estas son las coordenadas rectangulares del punto.


Coordenadas rectangulares
(x, y)

Por otra parte, ¿por qué no ir directamente al punto a lo largo de algunos radio r en lugar de tomar la ruta escénica a lo largo de x e y ?


Radio r
Radio

Podemos hacerlo, pero también necesitamos una dirección antes de partir del origen. Recuerde, un plano tiene dos dimensiones y el sistema rectangular necesita dos valores. Un solo valor no es suficiente. Además de la r , necesitamos un ángulo θ. Este ángulo es la rotación en sentido antihorario referida al eje x . Etiquetamos el punto como ( r , θ). Estas son las coordenadas polares del punto.


Coordenadas polares
(r, theta)

Acabamos de describir dos formas equivalentes de expresar el mismo punto. Pero, ¿qué pasa si solo tenemos r y θ; podemos encontrar x e y ? ¡Por supuesto! De la trigonometría, el seno de θ es el lado opuesto sobre la hipotenusa. La hipotenusa es r y el lado opuesto es y . Escribimos sin (θ) = y / r . Esto significa y = r sin (θ). ¿Qué tal x ? Dado que el coseno es el lado adyacente sobre la hipotenusa y el lado adyacente es x , obtenemos x = r cos (θ).

En lugar de conocer r y θ, ¿qué pasaría si tuviéramos x e y ? ¿Podemos encontrar r y θ a partir de x e y ? ¡Por supuesto que podemos! Un triángulo rectángulo está formado por x , y y r . Usando el teorema de Pitágoras, tenemos:

r 2 = x 2 + y 2

r = ( x 2 + y 2 ) 1/2

¿Qué pasa con θ? De la trigonometría, la tangente de θ es el lado opuesto sobre el lado adyacente. Por lo tanto, tan (θ) = y / x , entonces a = atan ( y / x ). Atan es el “arco tangente”, que también se escribe como la tangente inversa, o tan -1 .

En el cuadrante I figura que aparece aquí, r = 2, y = 1, x = 1.732 y θ = 30 o . ¿Nuestras ecuaciones son correctas?


Ubicación de un punto en el cuadrante I
relacionar coordenadas

x = r cos (θ) = 2 cos (30 o ) = 2 * 0.866 = 1.732 = x

¡Cheque!

y = r sin (θ) = 2 sin (30 o ) = 2 * 0.5 = 1 = y

¡Cheque!

r = ( x 2 + y 2 ) 1/2 = (1.732 2 + 1 2 ) 1/2 = 2 = r

¡Cheque!

Y finalmente:

θ = tan -1 ( y / x ) = tan -1 (1 / 1.732) = 30 o = θ

¡Cheque!

¡Compruebe las cuatro ecuaciones! Al menos en el primer cuadrante, podemos convertir entre coordenadas polares y rectangulares.

Los otros cuadrantes

Entonces, ahora que hemos resuelto el primer cuadrante, ¿qué pasa con los otros cuadrantes? Veámoslos uno a la vez ahora.


Ubicación de un punto en el cuadrante II
q2

En el cuadrante II, comience en el origen pero vaya a la izquierda, lo que significa que x es negativo. Entonces sube; y es de nuevo positivo. El radio r sigue siendo el camino más corto desde el origen hasta el punto. El ángulo θ todavía se mide desde el eje x positivo , x sigue siendo r cos (θ) e y sigue siendo r sin (θ). ¿Hay alguna diferencia? ¡Si! Debemos estar atentos a tan (θ) y tan -1 ( y / x ). Al igual que con los idiomas, debemos interpretar el resultado en función de dónde nos encontremos.

Algunas calculadoras tienen una función ” tan2 ” que permite cálculos relacionados con la tangente en los cuatro cuadrantes. Pero también podemos mirar el ángulo de la tangente como un ángulo de 0 a 90 o . Este es el ángulo que vimos en el triángulo de Pitágoras. En la figura del cuadrante II, este es el ángulo marrón.

En la figura del cuadrante II, x = -1.732, y = 1, r = 2 y θ = 150 o . ¿Ves cómo θ es la rotación en sentido antihorario desde el eje x positivo ?

El ángulo θ es el ángulo naranja en la figura del cuadrante II. Si rotamos un semicírculo completo, θ sería 180 o . Eso sería demasiada rotación. Nos detenemos en 150 o , que es el semicírculo completo menos el ángulo del triángulo de Pitágoras. Por lo tanto, θ es 180 o – tan -1 (| y | / | x |). En el triángulo de Pitágoras, todos los lados son positivos; sin lados negativos. Las barras verticales alrededor de x y y mantienen a los lados positivo tomando valores absolutos.

x = r cos (θ) = 2 cos (150 o ) = 2 * -0,866 = -1,732 = x

¡Cheque!

y = r sin (θ) = 2 sin (150 o ) = 2 * 0.5 = 1 = y

¡Cheque!

Y finalmente:

r = ( x 2 + y 2 ) 1/2 = ((-1,732) 2 + 1 2 ) 1/2 = 2 = r

¡Cheque!

Primero, calcule tan -1 (| y | / | x |) = tan -1 (1 / 1.732) = 30 o . En el cuadrante II, 180 o – tan -1 (| y | / | x |) = 180 o – 30 o = 150 o = θ

¡Cheque!

Si tenemos cuidado con el cálculo de θ, todo está bien en el cuadrante II.

Entonces, ¿qué sucede si el punto está en el cuadrante III? Entonces, θ = 180 o + tan -1 (| y | / | x |). Piense en el triángulo de Pitágoras. En la figura del cuadrante III, el ángulo polar θ es 210 o . Tanto x como y son negativos.


Ubicación de un punto en el cuadrante III
q3

¿Qué pasa si el punto está en el cuadrante IV? Mire la figura del cuadrante IV. ¿Ves θ = 360 o – tan -1 (| y | / | x |)? En la figura del cuadrante IV, el ángulo polar θ es 330 o , x es positivo e y es negativo.


Ubicación de un punto en el cuadrante IV
cuarto trimestre

Un último detalle: el signo de θ. ¿Qué es negativo negative? Si giramos en el sentido de las agujas del reloj en lugar de en el sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje x , θ es negativo. ¿Ves por qué θ = +330 o es lo mismo que θ = -30 o ? Por supuesto; 360 – 330 es 30. ¿Qué tal la versión negativa θ de θ = 210 o ? Sí, θ = -150 o es equivalente a θ = 210 o (de 360 ​​a 210 es 150).

Al igual que con los idiomas, hay muchas formas de expresar el mismo punto.

Resumen de la lección

Muy bien, eso fue mucho. Así que tomemos un momento para revisar lo que hemos aprendido. Aprendimos que las coordenadas polares ubican un punto en el plano con dos valores: un radio r y un ángulo θ. También aprendimos que las coordenadas rectangulares usan un valor de x y un valor de y para ubicar un punto en el plano. En general, para convertir entre coordenadas polares y rectangulares, use las siguientes reglas:

  • x = r cos (θ)
  • y = r sin (θ)
  • r = ( x 2 + y 2 ) 1/2
  • θ = tan -1 (| y | / | x |)

La ecuación para θ debe interpretarse correctamente según en cuál de los cuatro cuadrantes se encuentra el punto.

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