Cómo encontrar el período de funciones sinusoidales

Pasos para resolver

Una función se llama periódica si se repite para siempre en ambas direcciones. La función seno como la siguiente se conoce como función trigonométrica periódica.

La función seno es periódica

Cuando una función es periódica como la función seno, tiene algo llamado período. El período de una función periódica es el intervalo de valores de x en el que se produce una copia del patrón repetido. Observe que en la gráfica de la función seno se muestra que f ( x ) = sin ( x ) tiene un período 2π, porque la gráfica de x = 0 ax = 2π se repite para siempre en ambas direcciones.

Muy bien, hasta ahora todo bien, ¿verdad? Vemos que la función seno básica tiene un período 2π. Sin embargo, existen diferentes variaciones de la función seno. En otras palabras, la función seno tiene la forma f ( x ) = A sin ( Bx + C ) + D , donde A , B , C y D pueden ser cualquier número. Debido a esto, la función puede adoptar muchas formas diferentes y la forma dicta el período. Ahora, antes de que se desanime, ¡tengo buenas noticias! Tenemos una forma realmente sencilla de determinar el período de la función seno.

Si tenemos una función seno de la forma f ( x ) = A sin ( Bx + C ) + D , entonces el período de la función es 2π / | B |. Por tanto, para encontrar el período de la función f ( x ) = A sin ( Bx + C ) + D , seguimos estos pasos:

1. Identificar B en la función f ( x ) = A sen ( Bx + C ) + D .
2. Enchufe B en 2π / | B |.

Por ejemplo, considere la función f ( x ) = 3sin (π x + 1) – 7. Para encontrar el período de esta función, primero identificamos B , que es el número delante de x – o, en este caso, es π. Luego, simplemente reemplazamos B = π en nuestra fórmula de período.

Periodo = 2π / | B | = 2π / | π | = 2

Obtenemos que el período de la función f ( x ) = 3sin (π x + 1) – 7 es 2, y eso nos dice que un ciclo de la función se repite cada 2 unidades para siempre en ambas direcciones.

Solicitud

Las funciones sinusoidales se utilizan a menudo para representar patrones de población, patrones climáticos y muchos otros fenómenos del mundo real. Por ejemplo, suponga que un bosque en particular tiene una población de conejos que se puede modelar usando la función R ( x ) = 9200sin ((π / 2) ( x ) + (π / 2)) + 10000, donde x es el tiempo en meses.

Gráfico de la población de conejos

Debido a que la función es una función seno, sabemos que es periódica. ¿Alguna idea de lo que representa el período de esta función? Bueno, pensemos en ello. El período de la función es básicamente la duración del ciclo que se repite una y otra vez. Por lo tanto, en este contexto, representaría la duración de un ciclo de patrones de reproducción, o patrones de población, de estos conejos. Bueno, sería interesante saberlo. Vamos a averiguarlo.

Problema

Todo lo que tenemos que hacer es seguir los pasos de la función, así que comencemos. Lo primero que queremos hacer es identificar B en la función. La forma general de una función seno: f ( x ) = A sen ( Bx + C ) + D . Vemos que B es el coeficiente de x en la función.

Bueno, nuestra función es R ( x ) = 9200sin ((π / 2) ( x + (π / 2)) + 10000, y vemos que el coeficiente de x en la función es π / 2. Bueno, eso fue bastante fácil Tenemos que B = π / 2.

Todo lo que nos queda por hacer es insertar B en nuestra fórmula de período y obtenemos lo siguiente:

Periodo = 2π / | B | = 2π / | π / 2 | = (2π ⋅ 2) / π = 4π / π = 4

Obtenemos que el período de la función R ( x ) = 9200sin ((π / 2) ( x + (π / 2)) + 10000 es 4. Esto nos dice que cada 4 meses la población de conejos repite su patrón. ¡Eso es bastante bueno!

Es bastante fácil ver que conocer el período de las funciones sinusoidales es bastante útil en el mundo real. Dado que esta función se usa con tanta frecuencia para modelar fenómenos del mundo real, es genial poder identificar esta característica de la función para analizar mejor los fenómenos del mundo real.

Resumen de la lección

Dediquemos un par de minutos a revisar lo que hemos aprendido. Aprendimos que una función se llama periódica si se repite para siempre en ambas direcciones, y que una función trigonométrica periódica se llama función seno . También aprendimos que el período de una función periódica es el intervalo de valores de x en el que ocurre una copia del patrón repetido.

Finalmente aprendimos que para encontrar el período de la función f ( x ) = A sin ( Bx + C ) + D , seguimos estos pasos:

1. Identificar B en la función f ( x ) = A sen ( Bx + C ) + D .
2. Enchufe B en 2π / | B |.

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