Resolver usando la regla del producto
Comencemos por diferenciar x e x usando la regla del producto . De acuerdo con esta regla, tomamos la derivada de la primera función multiplicada por la segunda función y sumamos la primera función multiplicada por la derivada de la segunda. Esto suena más complicado de lo que es, así que veamos un ejemplo:
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En el lado derecho, la derivada de x es 1 y la derivada de e x es e x .
Para limpiar el lado derecho:
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Ahora integramos ambos lados:
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En el lado izquierdo, la integral ‘deshace’ la derivada, por lo que la integral de d ( x e x ) es x e x .
Y, en el lado derecho, la integral de la suma es la suma de las integrales:
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La siguiente parte es un reordenamiento de los tres términos. Estamos buscando la integral de x e x, por lo que colocamos este término solo en el lado izquierdo.
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(En la siguiente sección, nos referiremos a esta ecuación como la fórmula de integración por partes ).
La integral de e x es simplemente e x .
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La constante ‘C’ se agrega a la respuesta porque esta es una integral indefinida con límites de integración no especificados. ¡Y hemos terminado!
Por supuesto, podríamos factorizar la e x :
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Ahora, para verificar esta respuesta, diferenciamos y el resultado debería ser solo x e x .
Una vez más, usamos la regla del producto:
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y luego expandir y simplificar:
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¡La respuesta es correcta!
Integración por partes
Entonces ahora sabemos cuál es la respuesta. Lo que realmente hemos hecho al integrar la expansión de la regla del producto es derivar la fórmula de integración por partes :
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La clave es seleccionar u y d v, lo que reducirá la complejidad del problema al darnos una integral más simple de resolver. Una buena elección es:
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Para u = x , d u = d x . Para d v = e x d x , v = e x .
Sustituyendo u , d v , v y d u en la fórmula de integración por partes:
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Ahora simplificando, tenemos lo siguiente:
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Esto nos da la misma respuesta que encontramos antes.
La otra opción para u y d v
Exploremos qué habría pasado si hubiéramos tomado la otra opción para u y d v . De hecho, esto conducirá a un resultado interesante.
En lugar de u = x , elegimos u = e x . Además, en lugar de d v = e x d x , elegimos d v = x d x .
Por lo tanto, ahora que d u = E x D x y v = x 2 /2. Resumiendo esta otra opción:
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Tenga en cuenta que el lado izquierdo de la fórmula de integración por partes es el mismo, pero el lado derecho tiene una integral, que ha aumentado en complejidad.
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Pero la integral del lado izquierdo es nuestro amigo e x ( x – 1):
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Por lo tanto, podemos multiplicar por 2 y aislar la integral más complicada en el lado izquierdo:
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Escribir una integral en términos de otra integral conduce a la idea de una fórmula de reducción .
Una fórmula de reducción
Hay mucho más por hacer.
En lugar de integrar x 1 e x o integrar x 2 e x , integraremos x n e x :
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Las variables de integración por partes son:
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Sustituyendo en la fórmula de integración por partes, tenemos lo siguiente:
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Para la integración en el lado derecho, extraiga la ny reordene los términos:
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Tenemos dos integrales. El del lado izquierdo, lo definiremos como B n ( x ):
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Si n se convierte en n – 1, obtenemos B n -1 ( x ):
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que es la integral a la derecha de nuestra fórmula de integración por partes.
Así:
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Este tipo de fórmula se llama fórmula de reducción.
Para usarlo, sea n = 0. Entonces:
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Ahora, para n = 1:
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¿Ves nuestro resultado de integración de x e x ?
Para obtener el resultado de la integración de x 2 e x , sea n = 2:
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Y podríamos continuar con esta fórmula de reducción y seguir obteniendo nuevos resultados integrales basados en resultados anteriores. ¿Cuan genial es eso?
Resumen de la lección
Una forma de encontrar la integral de x e x es usar la regla del producto y luego integrar. Así es como se deriva la fórmula de integración por partes . En esta lección, tenemos integrales indefinidas donde los límites de integración no están especificados y, por lo tanto, se agrega una constante de integración al resultado. Extender la idea de integración por partes conduce naturalmente a una fórmula de reducción , donde una integral se define en términos de una integral previamente determinada.
Los resultados del aprendizaje
Al revisar la lección, puede establecer las siguientes metas:
- Usa la regla del producto para resolver la integral de x e x
- Comprender cómo utilizar la integración por partes.
- Explica el uso de integrales indefinidas.
- Detallar el uso de la fórmula de reducción.
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