Criterios de pendiente para líneas paralelas y perpendiculares
Todos los caminos conducen a Roma
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Si ‘Todos los caminos conducen a Roma’ es cierto, ¡todos los caminos tendrían que cruzarse en Roma! Pero si esos caminos son paralelos entre sí, nunca se cruzarán en Roma (ni en ningún otro lugar). Puede usar la pendiente de las líneas para determinar si se cruzan o son paralelas. Si se cruzan, puede usar la pendiente para determinar si se cruzan perpendicularmente. En esta lección, compartiré algunas definiciones relacionadas con las líneas, discutiré cómo determinar si las líneas son paralelas y perpendiculares y daré algunos ejemplos.
Algunas Definiciones
Las líneas paralelas son dos o más líneas que se encuentran en el mismo plano y que nunca se cruzan. No comparten ningún punto en común.
Las líneas perpendiculares son dos líneas que se cruzan de modo que su intersección forma cuatro ángulos rectos.
La pendiente es una medida de la inclinación de una línea. Se mide calculando qué tan lejos tiene que moverse un punto de la línea verticalmente para llegar a otro punto, dividido por qué tan lejos tiene que moverse ese punto horizontalmente.
La intersección con el eje Y es el punto del gráfico que se cruza con el eje y.
El recíproco negativo de un número es ese número, puesto al revés y dado el signo opuesto. Por ejemplo, el número 1/3 tiene el recíproco negativo de -3/1, o simplemente -3.
Las líneas oblicuas son dos o más líneas que no son paralelas ni se cruzan. Esto solo sucede cuando las líneas se encuentran en diferentes planos.
Lineas paralelas
Si dos líneas tienen la misma pendiente, se encuentran en el mismo plano y no son la misma línea, las líneas son paralelas. En pocas palabras, si tienen la misma pendiente, son paralelos.
Hay dos excepciones a esta simplificación. Una excepción es para las líneas que están sesgadas. Las líneas oblicuas no se encuentran en el mismo plano, por lo que pueden tener la misma pendiente pero no ser paralelas. La otra excepción es para dos líneas que en realidad son la misma línea. Por ejemplo, las rectas y = 2x + 1 y 4x-2y = -2 tienen una pendiente de 2, pero son la misma recta, por lo que no decimos que sean paralelas.
Para determinar si dos rectas son paralelas, deberá descubrir la pendiente de ambas rectas. Hay varias formas de encontrar la pendiente de una línea. Puede determinar la pendiente de una línea inspeccionando la gráfica, resolviendo la ecuación para y, o usando dos puntos de coordenadas de la gráfica.
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Lineas perpendiculares
Si las pendientes de dos líneas son recíprocas negativas entre sí, entonces las dos líneas son perpendiculares. Dos números son recíprocos si se han cambiado sus numeradores y denominadores. Por ejemplo, 2/3 y 3/2 son recíprocos. Para que sea un recíproco negativo, el signo también debe cambiar. Por ejemplo, 2/3 y -3/2 son recíprocos negativos. Un número entero, como 4, se puede escribir como una fracción, como 4/1. 4 es el recíproco de 1/4 y el recíproco negativo de -1/4.
Para determinar si dos líneas son perpendiculares, necesitará determinar la pendiente. Puedes encontrar la pendiente usando la gráfica, los puntos o la ecuación, al igual que puedes hacerlo con las líneas paralelas.
Un ejemplo o dos
Ejemplo 1.
¿Son las dos rectas dadas por y = (-2/3) x + 4 y 3x-2y = 2 paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos?
El primer paso es encontrar la pendiente. Las líneas se nos dan como ecuaciones, por lo que usaremos las ecuaciones para encontrar la pendiente.
La primera ecuación y = (- 2/3) x + 4 ya está resuelta para y.
Eso hace que la pendiente sea -2/3.
Luego, necesitamos encontrar la pendiente del segundo. 3x-2y = 2
No se resuelve para y, por lo que tendremos que resolver para y. -2y = -3x + 2: y = (3/2) x – 1.
La pendiente es 3/2.
-2/3 y 3/2 son recíprocos negativos, por lo que las líneas son perpendiculares.
Ejemplo 2.
Una línea tiene los puntos (8, -2) y (4, 6). La segunda línea tiene los puntos (0, 0) y (1, 2). ¿Son estas líneas paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos?
Calcula la pendiente de ambas rectas.
(8, -2) (4, 6) Cambio en y, -2 a 6 es +8, cambio en x, 8 a 4 es -4
Cambio en y / cambio en x = + 8 / -4 = -2
(0, 0) (1, 2) Cambio en y, 0 a 2 es +2, cambio en x, 0 a 1 es +1
Cambio en y / cambio en x = + 2 / + 1 = 2
Las pendientes son 2 y -2. No son iguales, por lo que no son paralelos. Tampoco son recíprocos negativos, por lo que no son perpendiculares. No son ninguno.
Resumen de la lección
Si dos rectas son paralelas o perpendiculares depende de la pendiente . Si la pendiente de las dos líneas es la misma, las dos líneas son paralelas. Si la pendiente de las dos líneas son recíprocas negativas , las líneas son perpendiculares. Afirmaría que las líneas no son ni si no son paralelas ni perpendiculares. Puedes determinar la pendiente de una línea usando varios métodos: leyendo la gráfica, resolviendo para y en la ecuación o encontrando el cambio en xey usando dos puntos.
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