Determinante: definición y significado

Publicado el 23 noviembre, 2020

Definición

El determinante de una matriz es simplemente una herramienta útil. Como sugiere su nombre, “determina” las cosas. Al hacer álgebra matricial o álgebra lineal , el determinante le permite determinar si un sistema de ecuaciones tiene una solución única.

Soluciones únicas y determinante

Un sistema de ecuaciones es simplemente un conjunto de más de una ecuación con dos, tres o más variables. Suponga, por ejemplo, que tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

x + y = 3 (Ecuación A)

2 x + y = 4 (Ecuación B)

En la ecuación A, hay muchas combinaciones de X e Y que trabajarán. Por ejemplo, x = 3 e y = 0 es una solución, pero también lo es x = 0 e y = 3. De hecho, hay un número infinito de soluciones porque las fracciones y los números decimales son un juego justo. x = 1,22 e y = 1,78 funcionarían.

De manera similar, hay un número infinito de soluciones para la Ecuación B, pero la mayoría de ellas no serían también soluciones para la Ecuación A. En este caso, solo una solución para la Ecuación A, x = 1 ey = 2 también funciona para la Ecuación B. Solo hay una solución para el sistema de ecuaciones, solo una solución que funciona para ambas ecuaciones. Entonces, el sistema de ecuaciones tiene una ‘solución única’. Solo hay un par xy que funciona. Si grafica ambas ecuaciones, verá que se cruzan en un solo punto.


Ecuaciones que se cruzan en un punto
Gráfico de dos líneas de intersección

Suponga, en cambio, que tiene las siguientes dos ecuaciones:

x + y = 5 (Ecuación C)

x + y = -1 (Ecuación D)

Está bien, piensa en eso por un minuto. ¿Cómo puedes sumar dos cosas y obtener ‘5’ y sumar las mismas dos cosas y obtener ‘-1’? Por supuesto que no puedes. Las dos ecuaciones son inconsistentes . No existe un par xy que funcione en ambas ecuaciones simultáneamente. No hay solución para el sistema de ecuaciones. Si grafica las dos líneas, nunca se cruzan (son paralelas).


Las líneas paralelas nunca se cruzan
Gráfico de líneas paralelas

Alternativamente, puede tener las siguientes dos ecuaciones:

x + y = 5 (Ecuación E)

2 x + 2 y = 10 (Ecuación F)

En este caso, si observa de cerca, verá que la Ecuación F es solo la Ecuación E con todo multiplicado por dos. Las dos ecuaciones representan la misma relación entre x y y . x = 1 e y = 4 funcionan en ambas ecuaciones, pero descubriría que todas las soluciones que funcionan para la ecuación E también funcionan para la ecuación F. Si grafica las dos ecuaciones, encontrará que caen una encima de la otra. Ellos son iguales.


Dos lineas que son iguales
Líneas que son la misma línea

De hecho, podría simplificar la Ecuación F y obtendría un sistema que se ve así:

x + y = 5 (Ecuación E)

x + y = 5 (Ecuación F)

Si compara las ecuaciones C y D con las ecuaciones E y F, verá algo interesante: los lados izquierdos de las ecuaciones se ven todos iguales. En C y D, los lados derechos son diferentes entre sí. En E y F, los lados derechos son idénticos.

Sin embargo, el patrón del lado izquierdo le brinda información importante. Si no tuviera los lados derechos, con solo mirar el lado izquierdo , sabría algo importante: las dos líneas son paralelas (no se cruzan) o son la misma línea. Puede que no sepa cuál, pero sabe que es uno de esos dos. Las dos ecuaciones no se encuentran en un punto. Hay no una solución única (sólo un punto de cruce) para el sistema de ecuaciones.

En caso de que se esté preguntando cómo mira esos lados izquierdos para determinar si habrá o no una solución única, no se preocupe. Eso está llegando. El secreto está en observar el patrón de los coeficientes , los números delante de la x y la y para cada ecuación. Al observar ese patrón solo, puede determinar si el sistema tendrá o no una solución única. Y, sí, hay una razón por la que determinar se ha enfatizado con cursiva en este párrafo. El patrón de coeficientes se relaciona con la determinación de algo; de esos coeficientes se obtiene el determinante .

El determinante de una matriz es simplemente un juguete matemático que le ayuda a saber si un sistema de ecuaciones tendrá una solución única. Lo obtienes jugando con los coeficientes del lado izquierdo.

Cómo encontrar un determinante

Encontrar un determinante puede ser complicado, especialmente si tiene un gran sistema de ecuaciones: muchas variables y muchas ecuaciones. En esta breve lección, le mostraremos cómo encontrar el determinante de una matriz de 2×2, es decir, una situación en la que solo tiene dos ecuaciones y dos variables.

Por ejemplo, a partir de la Ecuación A y la Ecuación B, puede crear una matriz utilizando los coeficientes del lado izquierdo:

Una matriz

Si reescribe la matriz usando líneas perfectamente rectas en los bordes exteriores, en lugar de corchetes que se doblan hacia adentro, significa encontrar el determinante.

Determinante de una matriz

Si se le da un nombre a la matriz, como la matriz ‘D’, también puede indicar que desea encontrar la matriz colocando líneas rectas en ambos lados del nombre de la matriz de esta manera: | D |. O a veces se escribe así: det (D).

Con una matriz de 2×2, encontrar el determinante es bastante fácil. Multiplica el número superior izquierdo (1), o elemento , por el elemento inferior derecho (1). Luego, multiplica el elemento inferior izquierdo (2) por el elemento superior derecho (1) y resta, así: 1×1 – 2×1 = -1. El determinante es ‘-1’.

Otro ejemplo

Suponga que su matriz se ve así:

Una matriz

Entonces su determinante sería: 1×4 – 3×2 = -2. El determinante es ‘-2’.

Una matriz debe ser cuadrada para que tenga un determinante, pero puede ser de cualquier tamaño. Encontrar el determinante de una matriz de 3×3 o más grande es mucho más complejo y, por lo tanto, no se describe en esta breve lección.

¿Qué te dice el determinante?

Anteriormente dijimos que un determinante te dice si un sistema de ecuaciones tendría una solución única. ¿Cómo? Bueno, veamos uno que no lo hace. Las ecuaciones C y D anteriores tienen coeficientes a la izquierda que son todos 1. Poner en una matriz, se vería así:

Una matriz

Si encuentra el determinante, obtiene: 1×1 – 1×1 = 0

Un determinante de cero significa que no existe una solución única para el sistema de ecuaciones. Si el sistema representa dos líneas, no se cruzan en un solo punto, o son líneas paralelas o son la misma línea. No hay solución o hay infinitas soluciones.

El uso más simple de un determinante es averiguar si un sistema de ecuaciones tiene una solución única, comprobando si el determinante es cero o no. No importa si el determinante es ‘-5’ o ‘1204.’ La clave es que es no cero.

El determinante también le dice si una matriz es invertible (un poco como determinar si puede ‘dividir por’ esa matriz, pero no exactamente). El determinante también es útil en geometría, estadística y una variedad de áreas de matemáticas superiores.

Resumen de la lección

El determinante de una matriz es un número que se obtiene a partir de los coeficientes de esa matriz. Si el determinante es cero, entonces el sistema de ecuaciones no tiene una solución única; puede que no haya solución o puede haber infinitas soluciones. Si el determinante no es cero, entonces el sistema tiene una solución única.

Los resultados del aprendizaje

Esta lección debería ayudarlo a:

  • Explica qué es el determinante y qué te permite determinar en álgebra.
  • Demuestre cómo usar el determinante para averiguar si un sistema de ecuaciones tiene una solución única.
  • Entender cómo encontrar un determinante
  • Recuerda lo que te dice el determinante

¡Puntúa este artículo!

Articulos relacionados