Entender la continuidad del punto

Continuidad

Imagínese caminar por una zona montañosa y de repente se detiene en el borde de un barranco. El barranco parece tener unos 100 pies de ancho. No hay forma de cruzar el barranco por tu cuenta para empezar a caminar por la siguiente parte del sendero al otro lado del barranco. En otras palabras, el camino ha sido continuo hasta este punto donde el camino se interrumpe solo para continuar en otro lugar. Esto es similar a lo que sucede con algunas funciones. Partes de la función son continuas hasta que llega a un punto específico, pero la función no termina, simplemente se retoma en un conjunto de coordenadas diferente. Profundicemos en este concepto.

Limites

La continuidad del punto es cuando el límite de una función que se aproxima a un punto desde cualquier dirección es igual a la evaluación de la función en ese punto. Por supuesto, si el límite no existe en absoluto, no hay continuidad de puntos. El diagrama 1 muestra la notación matemática que representa esta definición.

Continuidad de puntos para una función

Trabajemos con algunos ejemplos para obtener una comprensión más profunda de la continuidad de puntos.

Ejemplo 1

¿Hay continuidad de puntos para la función en (-1,1) como se muestra en el Gráfico 1?

Gráfico 1

La forma más fácil de pensar en la continuidad del punto es simular que dos hormigas caminan a lo largo del gráfico de la función desde ambas direcciones hacia el punto en cuestión. Si ambas hormigas llegan al mismo punto y pueden caminar a través del punto, existe continuidad de puntos en ese conjunto de coordenadas. Colocando las hormigas a cada lado de (-1,1) y haciendo que caminen hacia (-1,1), podemos ver que ambas llegarán a (-1,1) y pueden pasarse entre sí. Esto significa que existe continuidad de puntos allí. Veamos otro ejemplo.

Ejemplo 2

¿Hay continuidad de puntos para la función en (-1,1) como se muestra en el Gráfico 2?

Gráfico 2

Al poner las hormigas en la gráfica de la función a cada lado del círculo negro en (-1,1) podemos ver que ambas hormigas se acercarán al punto (-1,1), pero la función no está definida en ese punto, así que hay una discontinuidad. Trabajemos otro problema.

Ejemplo 3

¿Hay continuidad de puntos para la función en (-1,1) como se muestra en el Gráfico 3?

Gráfico 3

Poniendo a las hormigas a caminar desde el lado izquierdo y derecho de la gráfica de la función hacia (-1,1), vemos que las hormigas no se encuentran en (-1,1) o (-1, -1). Esto es análogo a nuestro escenario inicial donde estábamos caminando y nuestro sendero terminaba en un barranco, y existe un sendero en el lado opuesto del barranco. Por lo tanto, la continuidad de puntos no existe en (-1,1). La práctica hace la perfección, así que hagamos otro ejemplo.

Ejemplo 4

En este problema, tenemos que determinar si el enunciado del Gráfico 4 es verdadero o no.

Gráfico 4 y afirmación

La declaración nos pide que nos acerquemos a x = 1 desde el lado derecho y desde el izquierdo. Si colocamos las hormigas a cada lado de x = 1 y caminan una hacia la otra, se acercarán al mismo punto y podrán pasarse. Esto significa que la declaración es verdadera.

Resumen de la lección

La continuidad del punto es cuando el límite de una función que se aproxima a un punto desde cualquier dirección es igual a la evaluación de la función en ese punto. Si el límite no existe, la función no es válida para empezar.

Puedes fingir que hay hormigas que se acercan a un punto específico desde direcciones opuestas. Si las hormigas se acercan al mismo punto y pueden pasarse entre sí, y la gráfica es una función, existe continuidad de puntos.