Factor de integración: método y ejemplo

Factores integradores

Lo bueno de los desayunos en los restaurantes es el servicio de café. Para ser más precisos, son las recargas regulares de café. Puede tomar su café con 2 azúcares, pero ¿cómo obtiene esta concentración de azúcar cuando su taza aún no vacía se vuelve a llenar con café recién hecho pero sin azúcar? Este es un problema de mezcla: mezclar café recién hecho con café azucarado.

Los problemas de mezcla son una aplicación de ecuaciones diferenciales que se pueden resolver utilizando el método de factores integradores . En pocas palabras, el factor de integración es una función por la que multiplicamos ambos lados de la ecuación diferencial para que sea más fácil de resolver. En esta lección, demostraremos cómo encontrar el factor de integración y usarlo para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

Mostrando la idea básica

Primero, asegurémonos de saber qué estamos tratando de hacer al resolver la ecuación. Ya sea que estemos mezclando café recién hecho con café endulzado u otra cosa, el problema de la mezcla a menudo implica resolver una ecuación lineal de primer orden en forma estándar:

Buscamos una solución para la variable y . Una vez que encontramos y , se puede sustituir en la ecuación diferencial original. Si tenemos una solución de y válida , el lado izquierdo (o LHS) de la ecuación diferencial debe ser igual a su lado derecho (o RHS).

Digamos que tenemos la siguiente ecuación diferencial en forma estándar:

Tenemos que identificar la P y la Q . La cantidad que multiplica la y es el término P. Claramente, P = 4 / x . La cantidad en el RHS es el término Q. Por tanto, Q = x – 1 / x . Tenga en cuenta que P y Q son funciones de x .

Veamos cómo verificar eso:

Esta es la solucion. Por cierto, C es solo una constante.

El LHS de esta ecuación diferencial tiene dos partes, y ‘ y 4 y / x . Recuerde que y ‘ es la derivada de y con respecto a la otra variable. En este caso, la otra variable es x . Si fuera una ecuación diferencial para y en función del tiempo t , entonces la derivada de y sería con respecto al tiempo.

Conectando nuestra ecuación anterior, obtenemos:

Sumando esas dos partes del LHS y simplificando, obtenemos lo siguiente:

El LHS es igual al RHS. Bien, esta y es la solución para esta ecuación diferencial.

Entrar en los detalles

Sabemos cómo verificar una solución, pero ¿cómo la encontraríamos en primer lugar? Aquí es donde entra en juego el método del factor de integración . Encontrar el factor de integración implica dos pasos: integrar P de la ecuación en forma estándar y exponenciar el resultado. La combinación de esos dos pasos en una declaración proporciona una expresión de aspecto complicado pero fácil de evaluar para el factor de integración:

Luego multiplicamos ambos lados de la ecuación por el factor integrador e integramos para resolver y . Probemos este proceso usando la misma ecuación diferencial que antes.

Primero, tomamos el término P y lo integramos con respecto ax pero no agregamos una constante C :

Luego tomamos el resultado y lo exponenciamos:

Nuestro factor de integración es x 4 .

En última instancia, estamos resolviendo para y , por lo que esperamos que un lado de nuestra ecuación produzca y multiplicado por nuestro factor de integración después de la integración. Podemos hacer una verificación rápida diferenciando yx 4 para ver cómo se relaciona con partes de la ecuación diferencial anterior.

Diferencie y x 4 usando la regla del producto para obtener:

Aquí está la parte fascinante. Cuando multiplicamos ambos lados de la ecuación diferencial por el factor de integración, el LHS se convierte en

Esto simplifica a

Este es el resultado de nuestra prueba rápida cuando diferenciamos y x 4 .

Multiplicamos ambos lados de la ecuación diferencial por la ecuación integradora:

Entonces, reconocemos el LHS como la derivada de y x 4

Luego, integramos ambos lados:

En el LHS, la integración deshace la derivada. En el lado derecho, simplifique multiplicando por x 4 . Continuar con la integración nos da

Luego multiplicamos por x -4 para aislar y en el LHS. La expresión es:

¿Reconoces esta expresión? Es la solución que verificamos anteriormente. Volvemos ahora a la complicada pero fácil tarea de agregar azúcar al café.

Resolver un problema de mezcla

El problema de la mezcla con café y azúcar se puede expresar como

La cantidad de cucharaditas de azúcar en el café en cualquier momento es y . El volumen de la taza de café es de 20 tragos. La taza se llena regularmente hasta el tope, se agrega azúcar adicional y se agita la mezcla de café y azúcar. La velocidad a la que se bebe el café es de 2 tragos cada 5 minutos. Se agrega una cucharadita de azúcar por cada 5 tragos de café. ¿Significa esto que tenemos que contar los tragos? Sí, pero esto es un experimento, ¿verdad?

Como puede ver, nuestra ecuación diferencial está en forma estándar, lo que facilita la identificación de P = 1/50. La integral de P con respecto a t es

Exponenciando, obtenemos el factor de integración:

Un cheque rápido nos da

Luego multiplicamos ambos lados de la ecuación diferencial por el factor de integración, como puede ver:

El LHS es ahora

Como puede ver, ¡esto coincide con nuestra revisión rápida!

Nuestra ecuación diferencial se convierte en

Integrando ambos lados, finalmente obtenemos

Multiplicando por

aísla la y , como puede ver, y finalmente obtiene

Resumen de la lección

Tomemos un momento para revisar la información importante que hemos aprendido mientras repasamos el factor de integración y su ejemplo.

Las ecuaciones diferenciales de primer orden se pueden resolver utilizando el método de factor integrador. Una vez que la ecuación diferencial está en forma estándar, identificamos el término P en

La integración de esta P y luego la exponenciación produce el factor de integración , que es una función por la que multiplicamos ambos lados de la ecuación diferencial para que sea más fácil de resolver. A esto le sigue multiplicando ambos lados de la ecuación diferencial por el factor integrador, integrando y luego aislando la variable y .

Rodrigo Ricardo Editor y fundador