Gráficos de funciones y sus derivadas

Las ecuaciones diferenciales tienen aplicaciones aparentemente ilimitadas. Se dedica mucho tiempo a su derivación. A ellos se les dedican cursos completos. A continuación, ilustramos gráficamente algunos ejemplos básicos. Tenga en cuenta que simplemente buscamos observar cómo se relacionan las gráficas de funciones y sus respectivas derivadas. En pocas palabras, ¿de qué manera se pueden comparar o contrastar?

La función principal

La gráfica de y = x 2 es una parábola. Observe cómo parece estar disminuyendo hacia abajo de -∞ a 0 y aumentando hacia arriba de 0 a ∞. También observe cómo esta función parece ser cóncava.

La primera derivada dy / dx de la función principal

Tomando la 1ra derivada dy / dx de y = x 2 , se nos da y = 2x. Esta función es la de una línea recta con pendiente positiva. Cuando se superpone con su función principal, podemos ver su relación.

Es importante notar que mientras el valor de dy / dx (y = 2x) sea negativo de -∞ a 0, y = x 2 parece estar disminuyendo hacia abajo desde -∞ a 0. Y a medida que el valor de dy / dx, y = 2x, es positivo de 0 a ∞, y = x 2 parece estar aumentando hacia arriba. Tenga en cuenta también que la pendiente de y = 2x es positiva y su función madre y = x 2 tiene sus valores y por encima del eje x y es cóncava hacia arriba.

Tenga en cuenta que la función de y = -x 2 es simplemente y = x 2 reflejada en el eje x.

Si tomamos dx / dy de y = -x 2 , tenemos y = -2x. Recuerde que la función padre de y = 2x era cóncava; mientras que la parábola padre para y = -2x tiene sus valores por debajo del eje x cóncavo hacia abajo. Tenga en cuenta también que como y = -2x es positivo de -∞ a 0, y = -x 2 parece estar aumentando hacia arriba desde -∞ a 0. Del mismo modo, como y = -2x es negativo de 0 a ∞, y = -x 2 parece estar disminuyendo hacia abajo.

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La segunda derivada d 2 y / dx de la función madre, derivada de dy / dx

¿Cómo se relaciona la segunda derivada d 2 y / dx de la función principal, si es que se relaciona, con la función principal y / o la primera derivada de la función principal? Como d 2 y / dx = 2 es positivo, la pendiente correspondiente de dy / dx es positiva y y = x 2 es cóncava hacia arriba. Por el contrario, en el caso de d 2 y / dx = -2, la primera derivada tiene una pendiente negativa mientras que la función madre y = -x 2 es cóncava hacia abajo.

Un ejemplo resumido de una función principal con su primera y segunda derivadas

Por lo tanto, en resumen, si se nos da el polinomio y = x 3 + 1, su 1ra derivada y = 3x 2 y su 2da derivada y = 6x, es posible que podamos aplicar muchas de las observaciones basadas en gráficos hechas anteriormente en este lección -relacionar funciones y sus derivadas- con este conjunto de ecuaciones diferenciales.

Observe cómo y = x 3 + 1 aumenta de -∞ a ∞ cuando y = 3x 2 es positivo. Como los valores de y = 6x son negativos de -∞ a 0, y = 3x 2 está disminuyendo hacia abajo. Como los valores de y = 6x son positivos de 0 a ∞, y = 3x 2 aumenta hacia arriba. Por último, podemos ver que siempre que y = 6x tenga una pendiente positiva, y = 3x 2 parece cóncavo hacia arriba.

Resumen de la lección

El estudio de las derivadas puede ser un estudio intensivo y profundo, ya que sus aplicaciones son numerosas y pueden resultar bastante complejas. Simplemente observando las gráficas de algunas ecuaciones diferenciales sencillas, podríamos hacer comparaciones y ver que surgen patrones entre la función principal y sus respectivas derivadas. Podríamos trazar algunas correlaciones entre sus respectivos gráficos y exponer cualquier conocimiento limitado que pudiéramos tener ya con respecto a las derivadas.

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