Hallar la antiderivada de 1 / cos (x)

Pasos para resolver

Para esta lección, estamos interesados ​​en encontrar la antiderivada de 1 / cos ( x ) . Para hacer esto, comenzaremos usando una identidad trigonométrica bien conocida para reescribir la expresión 1 / cos ( x ), y esa identidad es sec ( x ) = 1 / cos ( x ).

Identidad trigonométrica

Con base en esta identidad, tenemos que encontrar la antiderivada de 1 / cos ( x ) es lo mismo que encontrar la antiderivada de sec ( x ), y ¿adivinen qué? ¡Tenemos una fórmula bien conocida para la antiderivada de sec ( x )! ¡Increíble!

∫ sec ( x ) dx = ln | sec ( x ) + tan ( x ) | + C , donde C es una constante

Bueno, ¡eso es increíblemente simple! Todos juntos, tenemos lo siguiente;

∫ (1 / cos ( x )) dx = ∫ sec ( x ) dx = ln | sec ( x ) + tan ( x ) | + C , donde C es una constante.

La antiderivada de 1 / cos ( x ) es ln | sec ( x ) + tan ( x ) | + C , donde C es una constante.

Prueba de la antiderivada

Como acabamos de ver, encontrar la antiderivada de 1 / cos ( x ) es increíblemente simple cuando reconocemos que 1 / cos ( x ) = sec ( x )! Todo lo que tenemos que hacer es usar una fórmula. Sin embargo, ¿de dónde viene esta fórmula? Echemos un vistazo a cómo encontramos la antiderivada de sec ( x ), para que sepamos de dónde proviene esta fórmula conveniente.

El comienzo de esta prueba es la parte más complicada, porque la mayoría no pensaría en hacerlo, ¡pero aquí estamos obteniendo la primicia! Comenzamos multiplicando y dividiendo sec ( x ) por sec ( x ) + tan ( x ), y simplificamos.

Multiplicar y simplificar

Ahora, estamos viendo la antiderivada de:

• (seg 2 ( x ) + seg ( x ) tan ( x )) / (seg ( x ) + tan ( x ))

Lo siguiente que queremos hacer es utilizar la sustitución. Vamos a dejar u = sec ( x ) + tan ( x ).

• u = seg ( x ) + tan ( x )

Al hacer esta sustitución, tenemos que du es igual a la derivada de u con respecto a x . Para encontrar du , usamos los siguientes hechos:

1. La derivada de una suma de funciones es la suma de la derivada de las funciones. Es decir, ( f ( x ) + g ( x )) ‘= f ‘ ( x ) + g ‘( x ).
2. La derivada de sec ( x ) es sec ( x ) tan ( x ).
3. La derivada de tan ( x ) es sec 2 ( x ).

Bien, por el primer hecho, obtenemos que la derivada de sec ( x ) + tan ( x ) es la suma de la derivada de sec ( x ) y la derivada de tan ( x ). Por el segundo hecho, la derivada de sec ( x ) es sec ( x ) tan ( x ). Por el tercer hecho, la derivada de tan ( x ) es sec 2 ( x ). Poniendo todo esto junto, tenemos lo siguiente:

• u = seg ( x ) + tan ( x )
• du = sec ( x ) tan ( x ) + sec 2 ( x ) dx

Ahora, eche un vistazo a la antiderivada que estamos tratando de encontrar una vez más.

Antiderivada

¿Notas en el que podemos conectar U y du en esto? Vemos que el numerador en la antiderivada es igual a du y el denominador es igual a u . ¡Oh wow! ¡Conectarlos realmente simplificará las cosas!

Pluggung en u y du

¡Bien, ahora estamos hablando! Necesitamos encontrar ∫ (1 / u ) du , y esta es una antiderivada bien conocida.

• La derivada de 1 / u es ln | u | + C

Solo nos queda una cosa por hacer, y es volver a conectar u = sec ( x ) + tan ( x ).

• ln | u | + C = ln | seg ( x ) + tan ( x ) | + C , donde C es una constante

La Antiderivada

Siempre es conveniente tener una fórmula para una antiderivada, pero también siempre es bastante interesante saber de dónde vino esa fórmula. Afortunadamente, ahora estamos familiarizados con la fórmula para la antiderivada de 1 / cos ( x ) y de dónde vino esa fórmula.

Resumen de la lección

Dediquemos un par de minutos a revisar lo que hemos aprendido sobre cómo encontrar la antiderivada de 1 / cos ( x ) . Al observar 1 / cos ( x ), todo lo que tenemos que hacer es usar una identidad trigonométrica bien conocida para reescribir la expresión, que es sec ( x ) = 1 / cos ( x ). La prueba que aprendimos a usar fue un poco complicada, pero ahora puede tenerla en cuenta cuando se le presente un problema como este. Aprendimos que comenzamos multiplicando y dividiendo sec ( x ) por sec ( x ) + tan ( x ) y simplificamos. Luego sustituimos y encontramos du y ue inserta los valores en la ecuación. A partir de ahí, descubrimos la antiderivada y luego volvemos a conectar nuestra ecuación u original . Este fue un resumen muy breve de todo lo que aprendimos, sin duda, pero debería proporcionar una buena base para seguir los pasos que cubrimos en esta lección.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador