Hallar la derivada de la raíz cuadrada de x

Pasos para resolver

Queremos encontrar la derivada de la raíz cuadrada de x . Para comenzar, debemos tener en cuenta que la raíz cuadrada de x es la misma que x elevada a la potencia 1/2. En general, sabemos que la raíz n -ésima de x es igual ax elevado a la potencia de 1 / n . Dado que la raíz cuadrada de x es la segunda raíz de x , es igual ax elevado a la potencia de 1/2.

Quizás se pregunte por qué queremos pensar en la raíz cuadrada de x de esta manera. Bueno, resulta que tenemos una buena fórmula que podemos usar para encontrar la derivada de x a .

Por lo tanto, si pensamos en la raíz cuadrada de x como x 1/2 , entonces podemos usar la fórmula para encontrar la derivada.

Solución

La fórmula da que la derivada de la raíz cuadrada de x es (1/2) x -1/2 . Esto se puede escribir de diferentes formas:

Comprobando su trabajo

Hay un par de formas diferentes en las que podemos verificar nuestro trabajo cuando se trata de derivados. El primero trata de la definición de una derivada utilizando límites.

Podemos utilizar esta definición para comprobar nuestro trabajo. Al hacerlo, deberíamos obtener el mismo resultado que obtuvimos al usar la fórmula. Comenzamos dejando f ( x ) = sqrt ( x ), y lo conectamos en consecuencia.

Ahora queremos encontrar el límite cuando h se acerca a 0. Una forma de evaluar un límite es insertando el número al que h se acerca para h . Sin embargo, en este caso, estaríamos conectando 0 para h . ¿Puedes ver por qué no podemos hacer eso? Si estás pensando que no podemos sustituir 0 por h porque eso crearía un denominador cero, ¡tienes razón! Por lo tanto, vamos a manipular el límite para ponerlo en una forma en la que podamos reemplazar 0 por h sin crear una expresión indefinida. Lo multiplicaremos todo por una versión del número 1:

Recuerde, no cambiamos el límite ya que finalmente lo multiplicamos por uno. Además, observe que ahora podemos sustituir cero por h sin crear un denominador cero o una expresión indefinida. Hagamos precisamente eso para encontrar el límite y, en el proceso, encontrar la derivada de la raíz cuadrada de x . Una vez que conectamos 0 para h , nuestra ecuación se convierte en:

Mira, la derivada de la raíz cuadrada de x es (1/2) x -1/2 , que es exactamente lo que obtuvimos cuando usamos la fórmula. ¡Uf! ¡Estas son buenas noticias! Significa que hicimos nuestro trabajo correctamente.

Integrales

Otra forma de comprobar nuestro trabajo es utilizando integrales. Las integrales se denominan anti-derivadas y básicamente deshacen las derivadas. Es decir, si a es la derivada de b , entonces la integral de a es b + C , donde C es una constante.

Esto nos dice que en nuestro ejemplo, dado que la derivada de sqrt ( x ) es (1/2) x -1/2 , debería darse el caso de que la integral de (1/2) x -1/2 sea ​​sqrt ( x ) + C , donde C es una constante. Puede que aún no estés familiarizado con las integrales, pero está bien. Tenemos la suerte de tener dos hechos fáciles de seguir que nos permitirán encontrar la integral de (1/2) x -1/2 .

1.) La integral de una constante multiplicada por una función es esa constante multiplicada por la integral de la función.

2.) La fórmula para la integral de x n es igual a:

Usando estas dos reglas, podemos encontrar la integral de (1/2) x -1/2 y verificar que es sqrt ( x ) + C , donde C es una constante. Esto nos permitirá comprobar que hicimos nuestro trabajo correctamente.

Tal como esperábamos, vemos que la integral de (1/2) x -1/2 es sqrt ( x ) + C , donde C es una constante. ¡Excelente! Una vez más, nuestro trabajo se confirma.

Al trabajar con derivadas, tanto la función de derivadas que usan límites como las integrales son extremadamente útiles para asegurarnos de que hicimos nuestro trabajo correctamente.

Los resultados del aprendizaje

Estudie la lección a fondo y retenga suficiente información para con seguridad:

• Resolver para la derivada de la raíz cuadrada de x
• Utilizar integrales para verificar el trabajo de uno.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador