Hallar la derivada de sec ^ 2 (x)

Pasos para resolver

Para encontrar la derivada de sec 2 x , necesitamos usar la regla de la cadena, junto con estas dos fórmulas de derivadas conocidas:

La regla de la cadena es una fórmula que usamos para calcular la derivada de una composición de funciones, donde una composición de funciones es una función dentro de una función.

En nuestro problema, sec 2 x también se puede considerar como (sec x ) 2 . Esto es lo mismo que colocar g ( x ) = sec x en la función f ( x ) = x 2 para x . Es decir, f (g ( x )) = (sec x ) 2 = sec 2 x , por lo que es una composición de funciones o una función dentro de una función.

La regla de la cadena en forma de símbolo es la siguiente.

La regla de la cadena

Vemos que la regla de la cadena establece que si tomamos la derivada f ( g ( x )), tomamos la derivada de la función f y luego reemplazamos g en el resultado. Luego multiplicamos por la derivada de la función g . Por lo tanto, para encontrar la derivada de sec 2 x , seguimos los siguientes pasos:

1. Encuentre la derivada de f ( x ) = x 2 , que es f ‘( x ) = 2 x .
2. Reemplaza g ( x ) = sec x en f ‘( x ) del paso 1.
3. Multiplica el resultado del paso 2 por la derivada de g ( x ) = sec x , que es g ‘( x ) = sec x tan x .

¡Empecemos! Como se muestra en la imagen que se muestra a continuación, en el paso 1 encontramos la derivada de f ( x ) = x 2 , que es f ‘( x ) = 2 x . Ahora encontramos f ‘(g ( x )). Es decir, conectamos g ( x ) = sec x en f ‘( x ), como se muestra aquí:

Lo siguiente que debemos hacer es multiplicar el resultado, f ‘(g ( x ) = 2sec x , por la derivada de g ( x ) = sec x . Sabemos que la derivada de g ( x ) = sec x es g’ ( x ) = sec x tan x , así que multiplicamos 2sec x por sec x tan x para obtener nuestra respuesta.

A continuación, se muestra lo que hicimos de una manera agradable y organizada:

Vemos que la derivada de sec 2 x es 2sec 2 x tan x .

Comprobando su trabajo

Para asegurarnos de que hemos calculado la derivada de algo correctamente, podemos verificarlo usando integrales. Una integral es una anti-derivada, por lo que deshace el proceso de tomar la derivada de algo. Tenemos la siguiente regla que relaciona integrales y derivadas:

Si la derivada de a es b , entonces la integral de b es a + C , donde C es una constante.

Esto nos dice que para verificar nuestro trabajo, podemos tomar la integral de 2sec 2 x tan x , y deberíamos obtener sec 2 x + C , donde C es una constante.

Si aún no está familiarizado con las integrales, no se preocupe. El enfoque de esta lección es mostrarle cómo encontrar la derivada de sec 2 x . Mostraremos el trabajo de tomar la integral de 2sec 2 x tan x solo para mostrar que sí funciona, pero está bien si aún no ha estudiado las integrales. A medida que continúe su educación en matemáticas y lea más lecciones, aprenderá más sobre integrales, sus propiedades y cómo usarlas para verificar su trabajo al encontrar derivadas.

Bien, revisemos nuestra respuesta. Para encontrar la integral de 2sec 2 x tan x , usaremos una sustitución de u y la siguiente derivada e integral:

Repasemos rápidamente el trabajo para encontrar la integral de 2sec 2 x tan x :

Vemos que la integral de 2sec 2 x tan x es, de hecho, sec 2 x + C , ¡así que nuestra respuesta es correcta!

Como dijimos, no te preocupes si el trabajo integral no tiene sentido para ti ahora mismo. Las integrales normalmente se estudian después de aprender las derivadas, por lo que podrá acceder a ellas si aún no lo ha hecho. Mientras tanto, solo sepa que podemos usar integrales para verificar nuestro trabajo al encontrar derivadas usando la regla explicada y que hemos verificado que nuestro trabajo de encontrar la derivada de sec 2 x es correcto.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador