Derivada de x 4
Encontrar la derivada usando la regla de la potencia significa que para x n , la derivada es n x n -1 . En palabras: n se mueve delante de x y el exponente se reduce en 1 para convertirse en n – 1.
Encontremos la derivada de x elevada a la cuarta potencia:
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Paso 1: enfócate en el exponente.
El exponente es 4.
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Paso 2: haz una copia del exponente y colócalo al frente.
Si ya hay un coeficiente delante de x , el exponente lo multiplicaría para convertirse en el nuevo coeficiente. Para f ( x ) = x 4 , el coeficiente delante de x 4 , es 1. Multiplicar 4 por 1 da 4.
Paso 3: Resta 1 del exponente.
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Como puede ver en nuestro caso aquí, estamos restando 1 de nuestro exponente de 4 para darnos nuestra nueva expresión.
Paso 4: limpia la expresión.
¡Ahí lo tienes! Nuestra expresión es ahora:
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¡Y eso es todo!
Usando un método alternativo
Solo por diversión, verifiquemos este resultado usando la definición de límite de la derivada, que puede ver aparecer aquí en su pantalla:
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Ya tenemos f ( x ), por lo que es fácil obtener f ( x + h ). Donde haya una x en f ( x ), reemplace la x con x + h . Por lo tanto, f ( x ) = x 4 se convierte en f ( x + h ) = ( x + h ) 4 , como puede ver:
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A partir de la definición de límite, construyamos y luego simplifiquemos f ( x + h ) – f ( x ) dividido por h , así:
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El numerador tiene ( x + h ) 4 , que se puede expandir. Una forma de expandir esto es multiplicar ( x + h ) 2 por ( x + h ) 2 donde ( x + h ) 2 es x 2 + 2 x h + h 2 . Seguimiento de términos comunes:
( x + h ) 4 = x 4 + 4 x 3 h + 6 x 2 h 2 + 4 x h 3 + h 4 .
Sustituyendo, obtenemos lo siguiente que puede ver aparecer aquí:
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Luego, x 4 se cancela con – x 4 , dejando la siguiente expresión simplificada:
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Podemos dividir cada término en el numerador por la h en el denominador. Algunos de los términos h también se cancelan, como puede ver aquí:
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Y ahora, simplificando nuevamente, obtenemos esto:
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Tome el límite cuando h llega a cero sustituyendo 0 por h en el lado derecho y luego simplificando:
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Entonces, como podemos ver, 4 x 3 concuerda con nuestro resultado anterior.
Aplicación y ejemplo
Φ es la cantidad de energía radiada por unidad de área (vatios por metro 2 ) por un objeto radiante ideal. Φ depende de la temperatura del objeto. Una muy buena estimación de Φ viene dada por la ecuación de Stefan-Boltzmann, que establece que:
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Suena un poco confuso, ¿verdad? Analicemos esto. σ es la constante de Stefan-Boltzmann igual a 5,67 * 10 -8 vatios / (metro 2 K). La temperatura, T , se mide en Kelvin. Esta ecuación dice que si conocemos la temperatura de un objeto, podemos calcular cuánta potencia se irradia por metro cuadrado.
La física puede parecer complicada, pero la ecuación es tan simple como f ( x ) = x 4 . ¿Ves cómo Φ tiene el papel de f ( x )? ¿Y T es nuestra variable independiente?
Para diferenciar esta función se utilizan los mismos pasos que para diferenciar f ( x ) = x 4 . Por cierto, podríamos querer diferenciar esta ecuación científica si quisiéramos saber si un cambio de temperatura, cuando las cosas ya están calientes, tiene un impacto mayor que cuando las cosas están frías. ¡De hecho lo hacen! Pero todo lo que haremos aquí es practicar para encontrar la derivada.
Paso 1: enfócate en el exponente.
El exponente es 4.
Paso 2: haz una copia del exponente y colócalo al frente.
El coeficiente, σ, se convierte en 4σ.
Paso 3: Resta 1 del exponente.
4 – 1 = 3.
Paso 4: limpia la expresión.
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La temperatura media de la Tierra es 288 K. Por tanto, Φ = 5,67 * 10 -8 * 288 4 ≅ 390 vatios / metro 2 . Si pudiéramos recolectar esta energía por unidad de tiempo y convertirla toda en electricidad, entonces un cuadrado, de un metro por un metro, podría alimentar casi cuatro bombillas de 100 vatios. Esto nos da una idea de cuánta energía irradia la Tierra caliente a la atmósfera.
Resumen de la lección
Muy bien, tomemos un momento para revisar lo que hemos aprendido. En esta lección, aprendimos que hallar la derivada usando la regla de la potencia significa que x n , la derivada es n x n -1 y que, en palabras, esto significa que n se mueve delante de x y el exponente se reduce en 1 para convertirse en n – 1. Y, lo que es más importante, aprendimos que para resolver este problema de encontrar la derivada de x 4 , solo necesitamos seguir cuatro pasos:
- Paso 1: enfócate en el exponente.
- Paso 2: haz una copia del exponente y colócalo al frente.
- Paso 3: Resta 1 del exponente.
- Paso 4: limpia la expresión.
¡Realmente es tan simple como eso!
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