Hallar las distancias recorridas moviendo partículas en líneas

Movimiento a lo largo de líneas rectas

Piense en todos los objetos que se mueven en línea recta. Hay muchos, ¿no? Los insectos pueden moverse en línea recta, los humanos corren en línea recta lejos de los insectos y los automóviles se mueven en línea recta, entre muchas otras cosas. Centrémonos en el movimiento de algunos objetos que se mueven en línea recta y veamos cómo podemos usar el cálculo integral para determinar la distancia que se mueve.

Distancia versus desplazamiento

Imagine a una persona que camina 5 metros a la derecha y luego se mueve 5 metros a la izquierda como se muestra en el Diagrama 1.

Diagrama 1. Una persona se mueve 5 m hacia la izquierda y luego 5 m hacia la derecha.

Dado que la persona comenzó y se detuvo en el mismo lugar, su desplazamiento es de 0 metros. Escrito matemáticamente esto es +5 m + (-5 m) = 0 m. El desplazamiento es la longitud de una línea recta trazada desde donde el objeto comienza a moverse hasta donde deja de moverse. Sin embargo, la persona ciertamente se movió y representamos la distancia que recorrió como el valor absoluto de estos desplazamientos. Escrito matemáticamente esto es | 5 m | + | -5 m | = 10 m. Ahora veamos cómo estos conceptos se traducen en gráficas de velocidad versus tiempo.

Velocidad versus tiempo

Segmentos de gráficos lineales

Para saber qué tan lejos se ha movido un objeto, necesitamos conocer su velocidad y cuánto tiempo se ha estado moviendo. El diagrama 2 muestra la velocidad de un objeto con respecto al tiempo y determinaremos la distancia que se mueve de 0 a 12 segundos.

Diagrama 2. Velocidad versus tiempo.

Podemos ver en este gráfico que está compuesto por tres segmentos lineales. El área entre la función y el eje del tiempo es el desplazamiento, que se conoce como la integral de la función. Al ver que el gráfico cae por debajo del eje del tiempo, el desplazamiento incluirá valores negativos. Esto significa que el desplazamiento y la distancia no serán iguales. Para obtener la distancia que recorre el objeto, debemos determinar el área entre la función y el eje del tiempo y debemos tomar el valor absoluto de las áreas. Calculémoslo ahora y comenzaremos definiendo las áreas que necesitamos calcular que se muestran en el Diagrama 3.

Diagrama 3. Tenemos que calcular 4 áreas y sumar sus valores absolutos.

Tenemos triángulos rectángulos y rectángulos como áreas, así que usaremos sus ecuaciones de área. Crearemos un gráfico para mantener las áreas organizadas. Recuerde que estamos tomando los valores absolutos de cada área.

Tratemos ahora un escenario en el que no podemos usar fórmulas geométricas para determinar el área entre la función y el eje del tiempo.

Gráficos no lineales

Digamos que tenemos un objeto que inicialmente se mueve lentamente y acelera gradualmente y alcanza una velocidad máxima antes de desacelerar con bastante rapidez. Luego, el objeto se mueve en la otra dirección acelerando a un ritmo bastante constante y eventualmente desacelera hasta detenerse. ¡Quizás esto represente el movimiento de una persona perseguida por una abeja! Podemos modelar la velocidad de la persona como v = t 5 -3t 4 + 2t 2 . El gráfico de esta función se muestra en el Diagrama 4.

Diagrama 4. Huyendo de una abeja.

Determinamos qué tan lejos corrió esta persona mientras huía de la abeja que los perseguía de 0 a 2 segundos. Tenemos que determinar esto integrando la ecuación de velocidad entre 0 y 2 segundos, pero tenemos que dividirla en dos integrales. Dado que el movimiento representa velocidades en direcciones opuestas, obtendremos un desplazamiento negativo entre 1 y 2 segundos. Tenemos que tomar el valor absoluto de este desplazamiento para obtener la distancia entre 1 y 2 segundos. Romper la integral nos da:

Tomando la integral de d 1 y evaluándola entre 0 y 1 segundo da como resultado

Ahora haremos lo mismo, pero por un tiempo entre 1 y 2 segundos. Esto nos da

Sumando estas distancias, obtenemos una distancia total de unos 3,6 metros.

Resumen de la lección

El desplazamiento es la integral de cualquier función de velocidad versus tiempo entre cualquier límite de tiempo. La distancia es el valor absoluto del desplazamiento de cada segmento del movimiento de un objeto. Si los gráficos tienen segmentos lineales, la distancia se puede determinar calculando el área entre la función y el eje x. Si las gráficas son curvas, se debe tomar la integral de la función. Para ambos escenarios, la integral debe dividirse en segmentos de tiempo para áreas por encima del eje xy por debajo del eje x. El valor absoluto de las áreas debajo del eje x dará la distancia a lo largo de ese segmento. La distancia total se determina sumando todas las distancias individuales.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador