La relación entre continuidad y diferenciabilidad

Funciones

Hay dos tipos de funciones; continuo y discontinuo. Una función continua es una función cuyo gráfico es una única curva ininterrumpida. Puede dibujar el gráfico de cualquier función continua con un solo trazo de lápiz sin levantar el lápiz. Entonces, una función discontinua es una función que no es continua.

Continuo frente a discontinuo

Gráfico continuo vs discontinuo

Mire estas dos funciones ilustradas; ¿Puedes decir cuál es continuo y cuál no? ¿Es el que tiene el gráfico rojo o el que tiene el gráfico azul? Si dijiste que la gráfica roja es la que es continua y la gráfica azul, discontinua, entonces tienes toda la razón. ¿Ves cómo el gráfico azul se divide en dos partes? No puede dibujar este gráfico sin levantar la pluma.

Diferenciabilidad

Una función es diferenciable si tiene una derivada. Las funciones pueden ser diferenciables como un todo o pueden ser diferenciables solo en ciertas ubicaciones. Puede pensar en la derivada de una función como su pendiente, al igual que nuestras montañas tienen pendientes, por lo que nuestras funciones tienen pendientes similares. Al igual que la pendiente de una montaña nos dice qué tan empinada es, la pendiente de nuestra función nos dice qué tan empinada es la función en un punto en particular.

Diferenciamos funciones siguiendo nuestras reglas de diferenciación. Por ejemplo:

X ^ 2 se diferencia en 2x, mientras que sen x se diferencia para cosignar x

Ahora, mirando nuestras dos gráficas anteriores, ¿ves cómo una función tiene una pendiente en todo momento, mientras que la otra no? El gráfico rojo tiene una pendiente en todo momento, mientras que el gráfico azul no tiene una pendiente en x = 0. ¿Qué nos dice esto sobre la relación entre las funciones continuas y la diferenciabilidad?

La relación

De hecho, tenemos una relación muy interesante entre funciones continuas y diferenciabilidad. La relación es: todas las funciones diferenciables son continuas, pero no todas las funciones continuas son diferenciables. ¿Por qué es esto?

Primero, hablemos de la– todas las funciones diferenciables son relaciones continuas. Piensa un momento en ello. Si una función es diferenciable, entonces tiene una pendiente en todos los puntos de su gráfica. Si es así, el gráfico es una única curva continua que puede dibujar con un trazo de lápiz. Pero si la función no es diferenciable, entonces puede tener un espacio en el gráfico, como tenemos en nuestro gráfico azul.

Continuo sin relación diferenciable

Ahora piense en la relación que no todas las funciones continuas son diferenciables. Una función es continua si no tiene espacios, por lo que la función del valor absoluto de x es una función continua porque la función no se divide. No existen lagunas. ¿Pero esta función es diferenciable? ¿Tiene una pendiente en todos los puntos del gráfico? Puede parecerlo al principio, pero mira el segundo gráfico aquí en el punto x = 0. ¿Puedes decir que tiene una pendiente? Piense en lo que sucedería si intentara esquiar sobre ese punto. ¿Tendría una pendiente para esquiar o se volcaría? Te volcarías. Esto se debe a que esta función no tiene pendiente en ese punto. Esta función, aunque continua, no es diferenciable.

Sin embargo, podemos especificar el dominio donde la función es diferenciable. Podemos decir que el valor absoluto de x es diferenciable para todos los puntos, excepto x = 0. ¿Pero la función como un todo no es diferenciable? ¿No fue eso interesante?

Resumen de la lección

Ahora repasemos lo que ha aprendido. Una función continua es una función cuyo gráfico es una única curva ininterrumpida. Entonces, una función discontinua es una función que no es continua. Una función es diferenciable si tiene una derivada. Puedes pensar en una derivada de una función como su pendiente.

La relación entre funciones continuas y diferenciabilidad es: todas las funciones diferenciables son continuas, pero no todas las funciones continuas son diferenciables.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador